ăn lồn đê

Đúng làm trẻ trâu , ăn nói mất lịch sự

\(\text{x ∈ ∅}\)

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

ĐKXĐ:  \(x\ge1\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x+1}\right)^2=1\Leftrightarrow x-1+2x+1+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}=1\Leftrightarrow3x+2\sqrt{2x^2-x-1}=1\) \(\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2-x-1}=1-3x\Rightarrow\left(2\sqrt{2x^2-x-1}\right)^2=\left(1-3x\right)^2\Leftrightarrow8x^2-4x-4=9x^2-6x+1\) \(\Leftrightarrow x^2-2x+5=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+4=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=-4\) vô lí vì VT\(\ge0\) mà VP<0 \(\Rightarrow\) ko có x Vậy...

\(ĐKXĐ:x\in R\)

Phương trình cho tương đương :

\(\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=a\left(a\ge1\right)\Rightarrow a^2-2=x^2-1\)

Khi đó pt trở thành :

\(a^2\left(a^2-2\right)+a^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a^2-2+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a+2\right)\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=1\) ( do \(a\ge1\) )

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=1\Rightarrow x^2+1=1\Rightarrow x=0\) ( Thỏa mãn )

Vậy \(S=\left\{0\right\}\)

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

dkxd  \(2x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{2}\)

          \(x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge1\)

lập phương 2 vế

\(2x-1+x-1+3\left(\sqrt[3]{\left(2x-1\right)^2\left(x-1\right)}+\sqrt[3]{\left(X-1\right)^2\left(2x-1\right)}\right)=3x-2.\)

đặt căn bậc 3(2x-1)=m ,  căn bậc 3(X-1)=t " và rút gọn ta được

\(3t^2m+3m^2t=0\)

\(3tm\left(t+m\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}tm=0\\t+m=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}=0\\\sqrt[3]{\left(2x-1\right)}+\sqrt[3]{\left(X-1\right)}=0\end{cases}}}\)

lập phương 2 vế ta được

\(\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x=1\end{cases}}\)

\(\sqrt[3]{\left(2x-1\right)}+\sqrt[3]{x-1}=0\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(2x-1\right)}=-\sqrt[3]{\left(x-1\right)}\)

lập phương 2 vế ta được

\(2x-1=-x+1\Leftrightarrow x=0\)

x=0 loại vì ko thỏa mãn điều kiện xác định 

suy ra pt có 2 nghiệm  \(x_1=\frac{1}{2}...x_2=1\)

sửa lại dòng \(2x-1=-x+1\Leftrightarrow x=-2\) loại vì ko thỏa mãn dkxd

lại sai rồi sủa lại tiếp bài này là căn bậc 3 , ko cần dkxd

vì thế nghiệm của pt là x1=1 , x2=1/2  , x3=-2

\(\sqrt{x^2-3}-\sqrt{x^2+1}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-3}=3+\sqrt{x^2+1}\)

\(\Rightarrow x^2-3=9+6\sqrt{x^2+1}+x^2+1\)

\(\Rightarrow6\sqrt{x^2+1}=-13\left(vn\right)\)

                                                    Vậy pt vô nghiệm

chuyển 1 cái căn sang rồi bình lên