Cho a,b là các số thực thay đổi sao cho đa thức \(A\left(x\right)=x^2-2ax+2a^2+b^2-5\) có nghiệm.
Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
Cho biết a và b là các số thực thay đổi sao cho đa thức A(x) = x^2-2ax+2a^2+b^2 - 5 có nghiệm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(a+1)(b+1)
Để phương trình có nghiệm thì :
\(\Delta_x=a^2-\left(2a^2+b^2-5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\le5\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le5+2ab\)
\(\Leftrightarrow ab\ge\frac{\left(a+b\right)^2-5}{2}\)
Ta có :
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)=ab+a+b+1\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2-5}{2}+\left(a+b\right)+1=\frac{1}{2}\left(a+b+1\right)^2-2\ge-2\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}}\)
Xét các số thực a,b,c với \(b\ne a+c\) sao cho PT bậc 2 \(ax^2+bx+c=0\) có 2 nghiệm thực m,n thỏa mãn \(0\le m,n\le1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
\(M=\dfrac{\left(a-b\right)\left(2a-c\right)}{a\left(a-b+c\right)}\)
Em tham khảo ở đây:
Max thì đơn giản thôi em:
Do \(0\le m;n\le1\Rightarrow0< 2-mn\le2\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{m+n+1}=2\)
\(M_{max}=2\) khi \(mn=0\)
Cho đa thức :\(P\left(x\right)=x^3-3x^2+1\) có 3 nghiệm thực phân biệt là :\(a;b;c\). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) \(A=a^4+b^4+c^4\)
b) \(B=\dfrac{a+1}{\left(b+c\right).\left(1-a\right)+1}+\dfrac{b+1}{\left(c+a\right).\left(1-b\right)+1}+\dfrac{c+1}{\left(a+b\right).\left(1-c\right)+1}\)
c) \(C=\dfrac{a^3}{a^2+2.b.c}+\dfrac{b^3}{b^2+2ac}+\dfrac{c^3}{c^2+2ab}\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy, quý cô cùng các bạn yêu toán vui lòng giúp đỡ em tham khảo với ạ. Em cám ơn nhiều lắm ạ!
a) phương trình \(x^3-3x^2+1\) có 3 nghiệm thực phân biệt là a,b,c(đề bài). Áp dụng Định lí Vi-ét cho đa thức bậc 3 ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\ab+bc+ac=0\\a.b.c=-1\end{matrix}\right.\)
ta có
a+b+c=3
<=>\(\left(a+b+c\right)^2=9\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\)
<=>\(a^2+b^2+c^2=9\)
<=>\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=81\)
<=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=81\)(1)
ta có ab+bc+ac=0
<=>\(\left(ab+bc+ac\right)^2=0\)
<=>\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=0\)
<=>\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-2.1.3=0\)
<=>\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=6\)(2)
Thay (2) vào (1) ta có \(a^4+b^4+c^4+2.6=81\)
<=>\(a^4+b^4+c^4=69\)
b) \(\dfrac{a+1}{\left(b+c\right)\left(1-a\right)+1}=\dfrac{a+1}{\left(3-a\right)\left(1-a\right)+1}=\dfrac{a+1}{3+a^2-4a+1}=\dfrac{a+1}{a^2-4a+4}=\dfrac{a+1}{\left(a-2\right)^2}\)
cmtt =>\(B=\dfrac{a+1}{\left(a-2\right)^2}+\dfrac{b+1}{\left(b-2\right)^2}+\dfrac{c+1}{\left(c-2\right)^2}\)=\(\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b-2}+\dfrac{1}{c-2}+3\left[\dfrac{1}{\left(a-2\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-2\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-2\right)^2}\right]\)=\(\dfrac{3\left[\left(a-2\right)\left(b-2\right)\right]^2+3\left[\left(b-2\right)\left(c-a\right)\right]^2+3\left[\left(c-2\right)\left(a-2\right)\right]^2}{\left[\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\right]^2}\)
đặt t=(a-2)(b-2);u=(b-2)(c-2);v=(c-2)(a-2) =>t+u+v=0
B thành \(\dfrac{3\left(t^2+u^2+v^2\right)}{t.u.v}\) bạn biến đổi để xuất hiện t+u+v
=>B=\(\dfrac{3\left(t+u+v\right)^2-6\left(t.u+u.v+t.v\right)}{t.u.v}=\dfrac{-6.\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\left(a-2+b-2+c-2\right)}{t.u.v}=\dfrac{18}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}\)
(a-2)(b-2)(c-2)= abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8=12-9=3
Vậy B=3
c) ta có \(\dfrac{a^3}{a^2+2bc}=\dfrac{a^3}{a^2-2ac-2ab}=\dfrac{a^2}{a-2c-2b}=\dfrac{a^2}{3a-2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a^2}{3\left(a-2\right)}\)
cmtt =>C=\(\dfrac{a^2}{3\left(a-2\right)}+\dfrac{b^2}{3\left(b-2\right)}+\dfrac{c^2}{3\left(c-2\right)}=\dfrac{a^2\left(b-2\right)\left(c-2\right)+b^2\left(a-2\right)\left(c-2\right)+c^2\left(a-2\right)\left(b-2\right)}{3\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}\)
bạn nhân vô thì ra C=\(\dfrac{4a^2-2a\left(ab+ac\right)-a+4b^2-2b\left(bc+ab\right)-b+4c^2-2c\left(ac+bc\right)-c}{3\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}=\dfrac{ }{ }4\dfrac{ }{ }=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)+6abc}{3\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}=\dfrac{4.9-3-6}{3.3}=\dfrac{27}{9}=3\)
(Hà Tĩnh)
Cho \(a,b\) là hai số dương thay đổi nhưng luôn có tích bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\).
Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(a+1\right)^2x^3+\left(2a-3\right)x^2-5\). Tìm \(a\) để \(P\left(x\right)\) có một nghiệm là \(x=-2\).
Cho biểu thức P =\(\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2a+2c-b\right)^2\)
1) Chứng minh P =\(9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2)Nếu a,b,c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ca = -1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)
\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2/
Ta có
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)
\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\)
Cho 2 đa thức \(f\left(x\right)=2x^2+ax+4\) và \(g\left(x\right)=x^2-5x-b\) (\(a,b\) là hằng số)
Tìm các hệ số \(a,b\) sao cho \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\) và \(f\left(-1\right)=g\left(5\right)\)
Ta có \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\)
hay \(2.1^2+a.1+4=2^2-5.2-b\)
\(2+a+4\) \(=4-10-b\)
\(6+a\) \(=-6-b\)
\(a+b\) \(=-6-6\)
\(a+b\) \(=-12\) \(\left(1\right)\)
Lại có \(f\left(-1\right)=g\left(5\right)\)
hay \(2.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+4=5^2-5.5-b\)
\(2-a+4\) \(=25-25-b\)
\(6-a\) \(=-b\)
\(-a+b\) \(=-6\)
\(b-a\) \(=-6\)
\(b\) \(=-b+a\) \(\left(2\right)\)
Thay \(\left(2\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta được:
\(a+\left(-6+a\right)=-12\)
\(a-6+a\) \(=-12\)
\(a+a\) \(=-12+6\)
\(2a\) \(=-6\)
\(a\) \(=-6:2\)
\(a\) \(=-3\)
Mà \(a=-3\)
⇒ \(b=-6+\left(-3\right)=-9\)
Vậy \(a=3\) và \(b=-9\)
Cái Vậy \(a=3\) và \(b=-9\) bạn ghi là \(a=-3\) và \(b=-9\) nha mk quên ghi dấu " \(-\) "
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\frac{1}{a^2+2a}+\frac{1}{b^2+2b}+\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)
p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)
=\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)
do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)
dạt a+b = t thì t>=4
cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)
dau = xay ra khi a=b=2
Cho các số thực a,b,c thỏa 0<a,b,c<1 và ab+bc+ca=1. Tìm GTNN của biểu thức:
\(A=\frac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)