Cho 2 số thực x, y thỏa mãn \(-4\le x\le4và0\le y\le16\)
CMR: \(x.\sqrt{16-y}+\sqrt{y.\left(16-x^2\right)}\le16\)
Cho các số thực x, y thỏa mãn - 4 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 16 . Chứng minh rằng:
\(x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\) ≤ 16
\(VT\le\frac{x^2+16-y}{2}+\frac{y+16-x^2}{2}=\frac{32}{2}=16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y=16-x^2\end{matrix}\right.\)
Cho các số thực x, y thỏa mãn -4 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 16. Chứng minh rằng: \(x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\) ≤ 16
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
Đặt \(A=x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left[x\sqrt{16-y}+\sqrt{y\left(16-x^2\right)}\right]^2\le\left(x^2+16-x^2\right)\left(16-y+y\right)\\ \Leftrightarrow A^2\le16\cdot16=256\\ \Leftrightarrow A\le16\\ A_{max}=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16-x^2}=\dfrac{16-y}{y}\Leftrightarrow x^2y=256-16y-16x^2+x^2y\\ \Leftrightarrow16x^2+16y-256=0\\ \Leftrightarrow x^2+y-16=0\\ \Leftrightarrow x^2=16-y\Leftrightarrow x=\sqrt{16-y}\)
CMR: \(\forall x\) thỏa mãn \(0\le x\le1\) thì \(x\left(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2}\right)\le16\)
cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(\left(x-y +z\right)^2\)+\(\sqrt{y^4}\)+\(\left|1-z^3\right|\) \(\le\) 0
Chứng minh rằng \(x^{2023}\)+\(y^{2024}\)+\(z^{2025}\)=0
Lời giải:
Ta thấy, với mọi $x,y,z$ là số thực thì:
$(x-y+z)^2\geq 0$
$\sqrt{y^4}\geq 0$
$|1-z^3|\geq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\geq 0$ với mọi $x,y,z$
Kết hợp $(x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\leq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|=0$
Điều này xảy ra khi: $x-y+z=y^4=1-z^3=0$
$\Leftrightarrow y=0; z=1; x=-1$
Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn \(2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}=10\)
CMR : \(x^4y\le16\)
cho a,b,c thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\)
CMR:
\(\dfrac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\dfrac{8}{9}\)
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
em cũng nghĩ thế mới dùng đc BDT AM-GM 3 số đúng ko thầy :)
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y+z=1. CMR:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le\frac{\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\right)\sqrt{xyz}+6\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2xyz}\)
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiên:
1) \(\left(x+2\right)\left(y+2\right)=3\left(x^2+y^2+\sqrt{xy}\right)\)
2) \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3=4\left(x^3+y^3\right)\)
CMR: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\)
1) Cho x > 1. Tìm GTNN của: \(A=\frac{1+x^4}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
2) Trong các cặp (x;y) thỏa mãn \(\frac{x^2-x+y^2-y}{x^2+y^2-1}\le0\). Tìm cặp có tổng x + 2y lớn nhất.
3) Cho x thỏa mãn \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\). Tìm GTNN của \(A=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2\)
4) Tìm GTNN của \(Q=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)
5) Cho x, y > 1. Tìm GTNN của \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
6) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: \(xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\). Tìm GTLN của \(P=\frac{z^4}{1+z^4\left(x^4+y^4\right)}\)
7) Cho a, b, c > 0. CMR:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
8) Cho x>y>0. và \(x^5+y^5=x-y\). CMR: \(x^4+y^4<1\)
9) Cho \(1\le a,b,c\le2\). CMR: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le10\)
10) Cho \(x,y,z\ge0\)CMR: \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\le\sqrt[3]{\frac{x+y}{2}}+\sqrt[3]{\frac{y+z}{2}}+\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}\)
11) Cho \(x,y\ge0\)thỏa mãn \(x^2+y^2=1\)CMR: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3\le1\)
12) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 12. CM: \(\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1}\le3\sqrt{17}\)
13) Cho x,y,z < 0 thỏa mãn \(x+y+z\le\frac{3}{2}\). CMR: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge3\sqrt{17}\)
14) Cho a,b > 0. CMR: \(\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\le4\left(a+b\right)\)
15) Với a, b, c > 0. CMR: \(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3.b^3.c^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
16) Cho x, y, z > 0 và \(x^3+y^3+z^3=1\)CMR: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
cậu đăng mỗi lần 1 đến 2 câu thôi chứ nhiều thế này ai làm cho hết được
Ok lần đầu mình đăng nên chưa biết, cảm ơn cậu đã góp ý, mình sẽ rút kinh nghiệm!!
cậu siêu quá , viết thế này chắc tớ chết mất , bạn tải mỗi lần 1, 2 câu thôi .