Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

\(\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{2x}+\frac{x+z}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^4\cdot y^2\cdot\left(x+z\right)}{y^2\cdot\left(x+z\right)\cdot2x\cdot4}}=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{8}}=\frac{3x}{2}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\frac{y^4}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x+y}{4}\ge\frac{3y}{2}\)

\(\frac{z^4}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{x^2}{2z}+\frac{y+z}{4}\ge\frac{3z}{2}\)

Cộng theo vế ta được :

\(VT+\left(\frac{y^2}{2x}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x^2}{2z}\right)+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}+\frac{3z}{2}\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{(\frac{x^2}{y})^2}{x+z}+\frac{(\frac{y^2}{z})^2}{x+y}+\frac{(\frac{z^2}{x})^2}{y+z}\geq \frac{\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)^2}{x+z+x+y+y+z}\)

Tiếp tục áp dụng:

\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{y+z+x}=x+y+z\)

Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x+z+x+y+y+z}=\frac{x+y+z}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Ta có \(A=\frac{x^4}{x^3+x^2y+xy^2}+...\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x}\)

=> \(A\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\frac{x+y+z}{3}\left(ĐPCM\right)\)

dấu = xảy ra <=> x=y=z>=0

Thanks

Đơn giản là C-S:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\)

Hoặc làm theo AM-GM:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x\) ; \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\); \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)

Cộng vê với vế:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)

Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)

Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)

Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)

Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)

\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)

Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)

Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:

\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)

Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ  giùm

Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc  Bunhia nên phải tách nó ra

Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)

                                                                     \(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)

                                                                       \(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)

                                                                        \(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))

 Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)

               \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)

Cộng từng vế của các bđt trên lại được

\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)

                                                                   \(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)

Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được

\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)

Quay trở lại với A

\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy .............

tth làm lạ vậy ? Lí giải hộ chỗ \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}????\)

ko biết

?????

Kết bạn đê Thành

Lời giải:

Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$

Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:

$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$

$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$

Hoàn toàn tương tự:

$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$

$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$

Cộng theo vế và thu gọn:

$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$

Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Lời giải:

Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$

Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:

$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$

$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$

Hoàn toàn tương tự:

$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$

$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$

Cộng theo vế và thu gọn:

$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$

Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\text{VT}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{1}{y}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^2}{\frac{1}{z}}+\frac{\left(\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}}\geq \frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)

Giờ ta cần chỉ ra \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Thật vậy, do $xyz=1$ nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho:

\((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\)

Bài toán tương đương với

\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)

Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:

\((ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3b^3ca^2\)

Thực hiện tương tự và cộng theo vế, suy ra:

\(3[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq 3(a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2)\)

\(\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)

@Ace Legona

làm thế này chả biết có đúng ko nữa, sếp Ace có rảnh thì xem giúp em nhé ^^!

theo Bđt Cauchy, ta có:

\(x^3z+xy^3+yz^3\ge\sqrt[3]{x^4y^4z^4}=1\)

\(-x^2z-xy^2-yz^2\ge-\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=-1\)

cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:

(cái này tớ muốn lách luật: không được trừ theo vế 2 bđt cùng chiều, chả biết có đc ko)

\(x^3z+xy^3+yz^3-x^2z-xy^2-yz^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2z\left(x-1\right)+xy^2\left(y-1\right)+yz^2\left(z-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x-1\right)}{y}+\dfrac{y\left(y-1\right)}{z}+\dfrac{z\left(z-1\right)}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}-\dfrac{z}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}\) (đpcm)