Cho phương trình: \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\). Có hai nghiệmìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_1^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)\)
Cho phương trình: \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\) (m là tham số) có hai nghiệm \(x_1\)và \(x_2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_1^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)^2\).
\(ac< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{3m}{2}\\x_1x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_1-x_2-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_1-x_2\right)^2\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(=\left(4+2\sqrt{2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{M}{4+2\sqrt{2}}=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M\ge2\sqrt{2}\left(4+2\sqrt{2}\right)=8+8\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=0\)
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\)(m là tham số). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+\left(x_1\right)^2}{x_1}+\frac{1+\left(x_2\right)^2}{x_2}\right)^2\)là...
Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{3m}{2}\\x_1x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(P=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+\left(\frac{x_1+x_2+x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\right)^2\)
\(P=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}+\left(\frac{-\frac{3m}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{3m}{2}\right)}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2\)
\(P=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}+\left(\frac{27-8\sqrt{2}}{4}\right)m^2\)
\(P=\left(\frac{18-9\sqrt{2}}{2}\right)m^2+2\sqrt{2}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(m=0\)
Bài 1: Cho phương trình: \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\)có hai nghiệm \(x_1,x_2\). Tìm GTNN của :
\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_2^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)^2\)
Bài 2: Cho phương trình: \(x^2+\left(m-1\right)x-6=0\). Tìm \(m\)để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho biểu thức
\(A=\left(x_1^2-9\right)\left(x_2^2-4\right)\)đạt GTLN
Help me! tks very much
Cho phương trình: \(x^2-\left(2m+5\right)x+2m+1=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) mà biểu thức M=\(\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\)
<=> \(\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4.1.\left(2m+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+12m+21>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9+12>0\)
<=> \(\left(2m+3\right)^2+12>0\)
Vì (2m+3)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m.
Theo viét:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
Theo đề:
\(M=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) (điều kiện: \(x_1;x_2\ge0\))
=> \(M^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}\right)-2\sqrt{\left(2m+1\right)}+4\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}-2\right)+4\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)
=> \(M\ge2\).
Dấu "=" xảy ra khi m = 0
Thế m = 0 vào phương trình ở đề được:
\(x^2-5x+1=0\)
Phương trình này có hai nghiệm dương -> thỏa mãn điều kiện.
Vậy min M = 2 và m = 0
☕T.Lam
Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2012x^2-\left(20a-11\right)x-2012=0\) (a là số thực). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}+\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)^2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{20a-11}{2012}\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}-\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(x_1-x_2\right)^2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(x_1-x_2\right)^2\left(\dfrac{1}{2}+1\right)^2\)
\(=6\left(x_1-x_2\right)^2=6\left(x_1+x_2\right)^2-24x_1x_2\)
\(=6\left(\dfrac{20a-11}{2012}\right)^2+24\ge24\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{11}{20}\)
Cho phương trình \(x^2-mx+2=0\) tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt để biểu thức \(\left(x_1+x_2\right)^4-17\left(x_1+x_2\right)^2x_1^2x_2^2-6\left(x_1+x_2\right)x_1^3x_2^3\)đạt giá trị nhỏ nhất
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m-3=0\) . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)thỏa mãn biểu thức \(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\)đạt giá trị nhỏ nhất
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\).
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)
\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)
\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).
Cho phương trình \(3\sin^2x+2\left(m+1\right)sinx.cosx+m-2=0\)Số giá trị nguyên của m để trên khoảng\(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) với\(x_1\in\left(-\frac{\pi}{2};0\right),x_2\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)là
Cho phương trình : \(x^2+\left(3m+2\right)x+3m=0\).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho biểu thức \(Q=\left(x_1+1\right)^4+\left(x_2+1\right)^4\) đạt giá trị nhỏ nhất .
\(\Delta=\left(3m+2\right)^2-12m=9m^2+4>0\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3m-2\\x_1x_2=3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1+x_2+1=-3m\\x_1x_2+x_1+x_2+1=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1+x_2+1=-3m\\\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=-1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=a\\x_2+1=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3m\\ab=-1\end{matrix}\right.\)
\(Q=a^4+b^4\ge2a^2b^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a^2=b^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\left(loại\right)\\a=-b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-3m=0\Rightarrow m=0\)