Cho \(a,b,c\ge0\)và ab+bc+ca=3 . Tính GTNN , GTLN của P = \(\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}\)
CHo các số dương a,b,c dương thỏa mã a+b+c=1.tìm gtln của \(A=\frac{\sqrt{3a}+2\sqrt{bc}}{1+\sqrt{bc}+3\sqrt{a+bc}}+\frac{\sqrt{3b}+2\sqrt{ca}}{1+\sqrt{ca}+3\sqrt{b+ca}}+\frac{\sqrt{3c}+2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}+3\sqrt{c+ab}}\)
Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tính GTLN của biểu thức
\(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)
\(\sqrt{c+ab}\) =\(\sqrt{c\left(a+b+c\right)+ab}=\sqrt{c^2+ac+cb+ab}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
ttu \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right);\frac{ac}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{bc+ac}{2\left(a+b\right)}+\frac{ac+ab}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc+ab}{2\left(c+b\right)}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
dau = xay ra khi a=b=c=1/3
Trả lời
Đáp số là 1/2
~ Học tốt ~
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
Cho a+b+c+ab+bc+ca=6 và a,b,c>0. Tìm GTNN của P=\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)
biết \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\)tìm gtnn của \(P=\frac{ab^2}{a+b}+\frac{bc^2}{b+c}+\frac{ca^2}{c+a}\)
theo giả thiết => a+b+c=3abc
ta có:
\(P>=\frac{\left(b\sqrt{a}+a\sqrt{c}+c\sqrt{b}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(theo cauchy schawarz)\(=\frac{\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)^2}{6abc}\)
=>\(P>=\frac{\left(3\sqrt[3]{abc\sqrt{abc}}\right)^2}{6abc}\)(cô si)=3/2
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=\(\frac{1}{2}\)
Cho các số dương \(a,b,c\)thỏa mãn \(a+b+c=3\)tìm GTLN của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{3a-ab-ca+2bc}+\frac{b^3}{3b-bc-ab+2ca}+\frac{c^3}{3c-ca-bc+2ab}+3abc\)
Sử dụng giả thiết a + b + c = 3, ta được: \(\frac{a^3}{3a-ab-ca+2bc}=\frac{a^3}{\left(a+b+c\right)a-ab-ca+2bc}\)\(=\frac{a^3}{a^2+2bc}\)
Tương tự ta có \(\frac{b^3}{3b-bc-ab+2ca}=\frac{b^3}{b^2+2ca}\); \(\frac{c^3}{3c-ca-bc+2ab}=\frac{c^3}{c^2+2ab}\)
Khi đó thì \(P=\frac{a^3}{a^2+2bc}+\frac{b^3}{b^2+2ca}+\frac{c^3}{c^2+2ab}+3abc\)\(=\left(a+b+c\right)-\frac{2abc}{a^2+2bc}-\frac{2abc}{b^2+2ca}-\frac{2abc}{c^2+2ab}+3abc\)\(=3+abc\left[3-2\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)\right]\)\(\le3+abc\left[3-2.\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)(Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)\(=3+abc\left[3-2.\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\right]\le3+\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=4\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(3P=\frac{3\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{bc}}+\frac{3\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{3\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
\(=3-\left(\frac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{c}{c+3\sqrt{ab}}\right)\)
\(\le3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\right]\)
\(\le3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)
\(\le3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\right]=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn Thắng Nguyễn chạy mà bị kiệt sức ở giai đoạn cuối để mình chạy tiếp sức phần còn lại nhé.
Từ \(3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)
\(\le3-\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\right]=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{\frac{9}{4}}{3}=\frac{3}{4}\)
Cho a,b,c>0. Cmr: a) \(\frac{ab}{a^2+bc+ca}+\frac{bc}{b^2+ca+ab}+\frac{ca}{c^2+ab+bc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
b) \(\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\le1\)
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
Cho \(a;b;c\ge0\) thỏa \(a^3+b^3+c^3=3\)
Tìm GTNN của \(B=\dfrac{ab+bc+ca+a^3+b^3+c^3}{5\left(ab+bc+ca\right)+1}\)
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = ab + bc + ca + a^3 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của biểu thức B theo a, b và c. Đạo hàm riêng của B theo a, b và c được tính như sau:
∂B/∂a = 3a^2 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(b + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂b = a^3 + 3b^2 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂c = a^3 + b^3 + 3c^2 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + b) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2
Tiếp theo, ta giải hệ phương trình ∂B/∂a = ∂B/∂b = ∂B/∂c = 0 để tìm các điểm cực trị của biểu thức B.
Sau khi tìm được các điểm cực trị, ta so sánh giá trị của B tại các điểm cực trị và tại các điểm biên của miền xác định để tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Tuy nhiên, việc giải phương trình và tính toán các giá trị có thể làm cho quá trình này trở nên phức tạp và mất nhiều thời gian.
Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, ta có thể sử dụng phương pháp khác như phương pháp đặt tính chất của hàm để giải quyết bài toán này.