Bài 1: 

\(\frac{x+1}{65}+\frac{x+3}{63}=\frac{x+5}{61}+\frac{x+7}{59}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{65}+1+\frac{x+3}{63}+1=\frac{x+5}{61}+1+\frac{x+7}{59}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+66}{65}+\frac{x+66}{63}=\frac{x+66}{61}+\frac{x+66}{59}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+66\right)\left(\frac{1}{65}+\frac{1}{63}-\frac{1}{61}-\frac{1}{59}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+66=0\)

\(\Leftrightarrow x=-66\)

b) \(\frac{m^2\left(\left(x+2\right)^2-\left(x-2\right)^2\right)}{8}-4x=\left(m-1\right)^2+3\left(2m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2x-4x=m^2+4m+4\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-4\right)x=m^2+4m+4\)

Để phương trình vô nghiệm thì \(\hept{\begin{cases}m^2-4=0\\m^2+4m+4\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2\vee m=-2\\\left(m+2\right)^2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow m=2\)

ĐK: \(-x^2+2x+\frac{1}{2}-m\ge0\)

\(pt\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x-2m-\frac{1}{2}>-x^2+2x+\frac{1}{2}-m\\4x-2m-\frac{1}{2}< x^2-2x-\frac{1}{2}+m\end{matrix}\right.\)

Xét từng bpt một nhé:

\(x^2+2x-1-m>0\) (1)

Để (1) đúng với mọi x thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow1+1+m< 0\Leftrightarrow m< -2\)

\(x^2-6x+3m>0\) (2)

Để (2) đúng với mọi x thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow9-3m< 0\Leftrightarrow m>3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< -2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S=\left(-2019;-2\right)\cup\left(3;2019\right)\)

Tự đếm xem có bao nhiêu phần tử nha cậu :))

\(7.\) Xét mẫu thức \(\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)\), ta có:

\(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1>0\Rightarrow\) Luôn đúng với mọi giá trị \(x\)

\(x^2+4x+5\\ hayx^2+4x+4+1=\left(x+2\right)^2+1\\ \left(x+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1>0\)

\(\Rightarrow\) Luôn đúng với mọi giá trị \(x\)

Vậy biểu thức \(\frac{x^2-4}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)}+\frac{3}{2}x\) luôn xác định với mọi giá trị \(x\)