`a)` Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có: `\hat{B}+\hat{C}=90^o`

      Xét `\triangle ABH` vuông tại `H` có: `\hat{B}+\hat{A_1}=90^o`

    `=>\hat{C}=\hat{A_1}`

Xét `\triangle ABC` và `\triangle HBA` có:

    `{:(\hat{C}=\hat{A_1}),(\hat{B}\text{ là góc chung}):}}=>\triangle ABC` $\backsim$ `\triangle HBA` (g-g)

`b)` Ta có: `BC=HB+HC=4+9=13(cm)`

Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có: `AH` là đường cao

    `@AH=\sqrt{BH.HC}=6 (cm)`

    `@AB=\sqrt{BH.BC}=2\sqrt{13}(cm)`

Ta có: `\hat{DEA}=\hat{ADH}=\hat{AEH}=90^o`

   `=>` Tứ giác `AEHD` là hcn `=>DE=AH=6(cm)`

`c)` Xét `\triangle AHB` vuông tại `H` có: `HD \bot AB=>AH^2=AD.AB`

      Xét `\triangle AHC` vuông tại `H` có: `HE \bot AC=>AH^2=AE.AC`

   `=>AD.AB=AE.AC`

giải

a, Trong tam giác ABC có: AB= 3cm( gt)

AC= 4cm ( gt)

BC = 5cm ( gt)

=> BC>AC>AB

==> Góc A > góc B > góc C ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong 1 tam giác)

b, Xét tam giác ABC có:

AB\(^2\)+ AC\(^2\)=3\(^2\)+4\(^2\)=25

BC\(^2\)=5\(^2\)= 25

==> AB\(^2\)+AC\(^2\)=BC\(^2\)

===> tam giác ABC là tam giác vuông ( vuông tại A) ( ĐL Py-ta-go đảo)

Lời giải:

Kẻ đường cao $AH$

Ta thấy:

$\frac{BH}{AB}=\cos B\Rightarrow BH=AB\cos B=6\cos 60^0=3$ (cm)

$\frac{AH}{AB}=\sin B\Rightarrow AH=AB\sin B=6\sin 60^0=3\sqrt{3}$ (cm)

$CH=BC-BH=4-3=1$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $AHC$:

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2}=2\sqrt{7}$ (cm)

Hình vẽ:

Ta có: AD+DC=AC(D nằm giữa A và C)

nên AC=4+5=9(cm)

\(AC=AD+DC=4+5=9\)

Ta có: \(AC^2=BC^2-AB^2\)

\(\to BC^2-AB^2=81\)

\(BD\) là đường phân giác \(\widehat{B}\)

\(\to\dfrac{BA}{AD}=\dfrac{BC}{DC}\)

\(\to\dfrac{BA}{4}=\dfrac{BC}{5}\)

\(\to\dfrac{BA^2}{16}=\dfrac{BC^2}{25}=\dfrac{BC^2-BA^2}{25-16}=\dfrac{81}{9}=9\)

\(\to\begin{cases}BA^2=144\\BC^2=225\end{cases}\)

\(\to\begin{cases}BA=12\\BC=15\end{cases}\)

Vậy \(BA=12cm, Bc=15cm\)

Do \(\Delta ABC=\Delta HIK\)

=> AB = HI = 2cm;

\(\widehat{B}=\widehat{I}=40^o\);

\(BC=IK=4cm\)

\(\Delta\)ABC= \(\Delta\)HIK

Suy ra: AB=HI=2cm, BC=IK=6cm, \(\widehat{I}=\widehat{B}=40^0\)

Do tam giác ABC= tam giác HIK

Suy ra:AB= HI= 2 cm

góc B = góc I=40 độ

BC=IK= 4cm

a/ ΔABC có: \(AB^2+AC^2=BC^2\) (vì 3² + 4² = 5²)

=> ΔABC vuông tại A

b) Ta có: \(\widehat{BAC}+\widehat{BAD}=180^0\) (kề bù)

=> \(\widehat{BAD}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-90^0=90^0\)

Xét ΔABC và ΔABD ta có:

AD = AC (GT)

\(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}\left(=90^0\right)\)

AB: cạnh chung

=> ΔABC = ΔABD (c - g - c)

=> BC = BD (2 cạnh tương ứng)

=> ΔBCD cân tại B

a. Áp dụng định lý Pytago ta có:

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}\left(cm\right)\)

b. Vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH là trung tuyến tam giác ABC.

=> HB = HC

\(\Rightarrow HB=HC=2cm\)

\(\Rightarrow BC=4cm\)

\(\Rightarrow P_{ABC}=AB+BC+CA=4+4+4=12\left(cm\right)\)