Lời giải:

a. $y=\sqrt{x^2+x-2}\geq 0$ (tính chất cbh số học)

Vậy $y_{\min}=0$. Giá trị này đạt tại $x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-2$
b.

$y^2=6+2\sqrt{(2+x)(4-x)}\geq 6$ do $2\sqrt{(2+x)(4-x)}\geq 0$ theo tính chất căn bậc hai số học

$\Rightarrow y\geq \sqrt{6}$ (do $y$ không âm)

Vậy $y_{\min}=\sqrt{6}$ khi $x=-2$ hoặc $x=4$

$y^2=(\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x})^2\leq (2+x+4-x)(1+1)=12$ theo BĐT Bunhiacopxky

$\Rightarrow y\leq \sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Vậy $y_{\max}=2\sqrt{3}$ khi $2+x=4-x\Leftrightarrow x=1$

c. ĐKXĐ: $-2\leq x\leq 2$

$y^2=(x+\sqrt{4-x^2})^2\leq (x^2+4-x^2)(1+1)$ theo BĐT Bunhiacopxky

$\Leftrightarrow y^2\leq 8$

$\Leftrightarrow y\leq 2\sqrt{2}$

Vậy $y_{\max}=2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Mặt khác:

$x\geq -2$

$\sqrt{4-x^2}\geq 0$

$\Rightarrow y\geq -2$
Vậy $y_{\min}=-2$ khi $x=-2$

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=sinb\end{matrix}\right.\) với \(a;b\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(P=\sqrt{sina}+\sqrt{sinb}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sina.cosb+cosa.sinb}\)

\(P\le\sqrt{2\left(sina+sinb\right)}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}\)

Do \(sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}cos\dfrac{a-b}{2}\le2sin\dfrac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow P\le2\sqrt{sin\dfrac{a+b}{2}}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}=2\sqrt{sint}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin2t}\)

\(\Rightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\le\sqrt{2sint}+\sqrt{\sqrt{3}.sin2t}\Rightarrow\dfrac{P^2}{4}\le2sint+\sqrt{3}sin2t\)

\(\Rightarrow\dfrac{P^2}{8}\le sint\left(1+\sqrt{3}cost\right)\Rightarrow\dfrac{P^4}{64}\le sin^2t\left(1+\sqrt{3}cost\right)^2\le2sin^2t\left(1+3cos^2t\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le sin^2t\left(4-3sin^2t\right)=-3sin^4t+4sin^2t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le-3\left(sin^2t-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\le\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow P\le4.\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(sint=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}}{x}+\dfrac{4\sqrt{y-4}}{4y}\le\dfrac{x-1+1}{2x}+\dfrac{y-4+4}{4y}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=2;y=8\)

$B = \sqrt{x-4} + \sqrt{12 -x}$

+) $B^2 = 8 + 2\sqrt{(x-4)(12-x)} \geqslant 8 + 2 \cdot 0 = 8 \implies B \geqslant \sqrt{8}$

Vậy $B_\text{min} = \sqrt{8} \iff (x-4)(12-x) = 0 \iff x =4$ hoặc $x =12 \implies (x;y) =\{ (4;11);(12;3)\}$

+) $B^2 = 8 + 2\sqrt{(x-4)(12-x)} = 8 + 2\sqrt{-x^2 + 16x - 48} = 8 + 2\sqrt{-(x-8)^2 + 16} \leqslant 8 + 2\sqrt{16} = 16 \implies B \geqslant 4$

Vậy $B_\text{max} =4 \iff x = 8 \iff (x;y) = (8;7)$

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

dit me may 

bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ? 

đkxđ: \(z\ge1;x\ge2;y\ge3\)

Đặt \(a=\sqrt{z-1}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0;c=\sqrt{y-3}\ge0\)

\(\Rightarrow z=a^2+1;x=b^2+2;y=c^2+3\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+2}+\dfrac{c}{c^2+3}\)

Do các biến \(a,b,c\) độc lập nhau nên ta xét từng phân thức một.

Đặt \(f\left(a\right)=\dfrac{a}{a^2+1}\) \(\Rightarrow f\left(a\right).a^2-a+f\left(a\right)=0\) (*)

Nếu \(f\left(a\right)=0\) thì \(a=0\), rõ ràng đây không phải là GTLN cần tìm.

Xét \(f\left(a\right)\ne0\)

Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left[f\left(a\right)\right]^2\ge0\) 

\(\Leftrightarrow\left(1+2f\left(a\right)\right)\left(1-2f\left(a\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le f\left(a\right)\le\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(a\right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+1=2a\Leftrightarrow a=1\) (nhận)

Vậy \(max_{f\left(a\right)}=\dfrac{1}{2}\).

 Tiếp đến, gọi \(g\left(b\right)=\dfrac{b}{b^2+2}\) \(\Rightarrow g\left(b\right).b^2-b+2g\left(b\right)=0\) (**)

 Tương tự nếu \(b=0\) thì vô lí. Xét \(b\ne0\). Khi đó để (**) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-8\left[g\left(b\right)\right]^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\left(1+2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\le g\left(b\right)\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(g\left(b\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{b}{b^2+2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow b^2+2=2\sqrt{2}b\Leftrightarrow b=\sqrt{2}\) (nhận)

Vậy \(max_{g\left(b\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

Làm tương tự với \(h\left(c\right)=\dfrac{c}{c^2+3}\), ta được \(max_{h\left(c\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\), xảy ra khi \(c=\sqrt{3}\)

Vậy GTLN của A là \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{12}\), xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1,\sqrt{2},\sqrt{3}\right)\) hay \(\left(x,y,z\right)=\left(2,4,6\right)\).

Cái chỗ cuối mình sửa thế này nhé

\(A=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)

\(\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-3+y-4\right)}=\sqrt{2.1}=\sqrt{2}\)