Tìm các số nguyên tố p,q thỏa mãn: \(p^2-2q^2=1\)
Tìm các cặp số nguyên tố (p;q) thỏa mãn:
p mũ 2 - 2q mũ 2 = 1
\(p^2-2q^2=1\)
\(\Rightarrow p^2=2q^2+1\)
\(\Rightarrow p\) là số lẻ
Đặt \(p=2n+1\Rightarrow p^2=4n^2+4n+1\)
mà \(p^2=2q^2+1\)
\(\Rightarrow4n^2+4n+1=2q^2+1\)
\(\Rightarrow2\left(2n^2+2n\right)=2q\)
\(\Rightarrow2n^2+2n=q\)
\(\Rightarrow2\left(n^2+n\right)=q\)
\(\Rightarrow q\) là số chẵn
mà \(q\) là số nguyên tố
\(\Rightarrow q=2\)
\(\Rightarrow p^2=2.2^2+1=9\Rightarrow p=3\)
Vậy \(\left(p;q\right)\in\left\{3;2\right\}\) thỏa mãn đề bài
Ta có: \(p^2-2q^2=1\)
Do 1 là số lẻ nên \(2q^2\) chẵn và \(p\) lẻ
\(\Rightarrow p^2-1=2q^2\)
\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2q^2\)
Mà \(p\) lẻ nên \(p+1,p-1\) đều là chẵn
\(\Rightarrow\left(q-1\right)\left(q+1\right)\) ⋮ 4
\(\Leftrightarrow q^2\) ⋮ 2 \(\Rightarrow q\) ⋮ 2 \(\Rightarrow q=2\)
\(\Rightarrow p^2=2\cdot2^2+1=9\Rightarrow q=3\)
Vậy: (q;p) là (2;3)
Tìm các số nguyên tố p,q thỏa mãn :p2-2q2=1
p2-2q2=1
=>p2=2q+1(1)
Vì p2=2q+1 =>p là số lẻ=> p=2k+1=>p2=4k2+4k+1(2)
Từ 1 và 2 => 4k2+4k+1=2q+1
=>2(2k2+2k)=2q
=>2k2+2k=q=> q là số chẵn Mà q là số nguyên tố => q=2
Thay q = 2 vào đề bài => p=3
p2-2q2=1
=>p2=2q^2+1(1)
Vì p2=2q^2+1 =>p là số lẻ=> p=2k+1=>p2=4k2+4k+1(2)
Từ 1 và 2 => 4k2+4k+1=2q+1
=>2(2k2+2k)=2q
=>2k2+2k=q=> q là số chẵn. Mà q là số nguyên tố => q=2
Thay q = 2 vào đề bài => p=3
p2-2q2=1
<=> p2=2q2+1=> p lẻ
Ta có 2 trường hợp p=3 hoặc p khác 3
Với p khác 3=> p^2 chia 3 dư 1
=>2q2 chia hết cho 3=> q=3=>p2=19 (vô lý)
Với p=3=>q=2 (TM)
Vậy (p;q)=(3;2)
Cho các số nguyên tố p,q thỏa mãn p^2-2q^2=17 tính p+q
Cho các số nguyên tố p,q thỏa mãn p^2-2q^2=17 tính p+q
Vì x,y là các số nguyên tố => x,y > 1
Lại có \(p^2-2q^2=17\) => \(p^2>17\Leftrightarrow p\ge5\)
-Xét p = 5, thay vào ta có q = 2
Khi đó, p + q = 7
-Xét p > 5, vì p là số nguyên tố nên p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (k ∈ Z+)
-Xét p = 6k + 1, ta có\(\left(6k+1\right)^2-2q^2=17\Leftrightarrow36k^2+12k+1-2q^2=17\Leftrightarrow36k^2+12k-2q^2=16\Leftrightarrow18k^2+12k-q^2=8\)Ta thấy VP ⋮ 2 => VT ⋮ 2 mà 18k^2 + 12k ⋮ 2 => q^2 ⋮ 2 <=> q = 2 (vì q là số nguyên tố). Thay vào ta được p = 5
-Xét p = 6k + 5, ta có
\(\left(6k+5\right)^2-2q^2=17\Leftrightarrow36k^2+60k+25-2q^2=17\Leftrightarrow36k^2+60k+24-2q^2=16\Leftrightarrow18k^2+30k+12-q^2=8\)Chứng minh tương tự, ta có q = 2 => p = 5
Vậy p + q = 7
Tìm tất cả các số nguyên dương x,y và các số nguyên tố p thỏa mãn : x^2+p^2q^2=6(x+2p)
Tìm các cặp số nguyên tố(p,q) thỏa mãn: p3+107=2q(17q+24)
Có p là số nguyên tố,p lẻ
+)Xét p=3 suy ra 134=2q(17q+24) suy ra q(17q+24)=67
Mà q lớn hơn hoặc = 2 nên vô lí
+)Xét p>3.p nguyên tố nên p ko chia hết cho 3
th1: p chia 3 dư 1.Đặt p=3k+1 nên VT chia hết cho 3 nên VP chia hết cho 3, Từ đó suy ra q chia hết cho 3,mà q nguyên tố nên q=3.Thay vào tìm ra p
th2 : p chia 3 dư 2. Đặt p=3k+2 nên VT chia 3 dư 2. VT=VP nên 2q(17q+24) chia 3 dư 2
Từ đó có q(17q+24) chia 3 dư 1 nên 17q^2 +24q chia 3 dư 1
Mà 24q chia hết cho 3 nên 17q^2 chia 3 dư 1(loại)
trường hợp 2 hình như ko đúng
Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a) \(p^2q+p⋮p^2+q\)
b) \(pq^2+q⋮q^2-p\)
a) \(p^2q+p⋮\left(p^2+q\right)\Rightarrow q\left(p^2+q\right)-\left(p^2q+q\right)=q^2-p\left(p^2+q\right)\)
\(pq^2+q⋮\left(q^2-p\right)\Rightarrow\left(pq^2+q\right)-p\left(q^2-p\right)=p^2+q⋮q^2-p\)
\(q^2-p=-\left(p^2+q\right)\Leftrightarrow q^2+q+p^2-p=0\left(VN\right)\)
\(q^2-p=p^2+q\Leftrightarrow\left(q+p\right)\left(q-p-1\right)=0\Leftrightarrow q-p-1=0\Leftrightarrow q=p+1\)
Mà p,q là 2 số nguyên tố nên p=2, q=3
tìm các số nguyên dương a;b;c;d thỏa mãn a+2b+3c=3d!+1.biết tồn tại các số nguyên tố p;q thỏa mãn a=(p+1)(2p+1)=(q+1)(q-1)2
1) Cho hai số nguyên dương x,y lớn hơn 1, x khác y thỏa mãn \(x^2+y-1⋮y^2+x-1.\). Chứng minh rằng \(y^2+x-1\)không thể là lũy thừa của 1 số nguyên tố.
2) Tồn tại không các số nguyên dương x, y sao cho \(x^5+4^y\)là lũy thừa của 11.
3)Tìm tất cả các cặp số (x,y) nguyên dương thỏa mãn \(x^3-y^3=13\left(x^2+y^2\right)\)
4)Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn \(n^5+n+1\)là lũy thừa của số nguyên tố.
5)Cho 2 số nguyên dương x,y thỏa mãn \(2x^2+11xy+12y^2\)là lũy thừa của số nguyên tố. Chứng minh rằng x=y.
6)Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho \(\frac{p+1}{2}\)và\(\frac{p^2+1}{2}\)đều là số chính phương.
7)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương p, q với p nguyên tố thỏa mãn \(p^3+p^2+6=q^2+q\)
bài 5
cho p,q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn p=q+2 . tìm số dư khi (q+p):12
bai 6
tìm các số nguyên thỏa mãn (x^2-1)(x^2-10)(x^2+1)
bai7
cho p và p+4 là các số nguyên tố > 3 và p-2014 là hợp số
bài 5:
Chứng minh :p+q chia hết cho 4 .Từ đề bài suy ra p,q phải là 2 số lẻ liên tiếp nên p.q sẽ có dạng 4k+1 và 4k+3 suy ra p+q chia hết cho 4
Vi p,q là só nguyên tố >3 nêp,q chỉ có thể chia 3 dưa 1 hoặc 2 p=4k+1 suy ra q=3k+3 chia hết cho 3 loại p=3k+2 suy ra q=3k+1 nên p+q chia hết cho 3
suy ra p+q chia hêt cho 12