Gọi 4 số cần tìm là \(x,y,z,t\).
Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(y-6\right)^2=\left(x-2\right)\left(z-7\right)\\\left(z-7\right)^2=\left(y-6\right)\left(t-2\right)\end{matrix}\right.\). (1)
Mặt khác 4 số lập thành một cấp số cộng nên:
\(y=x+d;z=x+2d;y=x+3d;t=x+4d\).
Thay vào hệ ta tìm được \(d=7;x=5\).
Vậy 4 số cần tìm là: 5; 12; 19; 26.

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\)

\(\Rightarrow\) Số thứ 2 và thứ 3 lần lượt là \(u_1q\) và \(u_1q^2\)

Từ dữ kiện thứ 1 ta có: \(2\left(u_1q+2\right)=u_1+u_1q^2\) 

\(\Rightarrow u_1\left(q^2-2q+1\right)=4\) (1)

Từ dữ kiện thứ 2 ta có: \(u_1\left(u_1q^2+9\right)=\left(u_1q+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(u_1q\right)^2+9u_1=\left(u_1q\right)^2+4u_1q+4\)

\(\Leftrightarrow u_1\left(9-4q\right)=4\) (2)

Chia vế cho vế (1) và (2):

\(\Rightarrow q^2-2q+1=9-4q\)

\(\Leftrightarrow q^2+2q-8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\Rightarrow u_1=4\\q=-4\Rightarrow u_1=\dfrac{4}{25}\end{matrix}\right.\)

Gọi 4 số cần tìm là x, y, z, t ta có:

Cấp số cộng x, y, z, t

Cấp số nhân x−2, y−6, z−7, t−2

Ta có hệ

ĐS: x = 5, y = 12, z = 19, t = 26

Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: \({u_{n - 1}},\;{u_n},\;{u_{n + 1}}\)

Theo tính chất của cấp số cộng ta có: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)

Mà đề bài: \({u_{n - 1}} + {u_n} + {u_{n + 1}} = 21\)  suy ra \(3{u_n} = 21\;\)

  \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u_n} = 7\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{n - 1}} = {u_n} - d = 7 - d\\{u_{n + 1}} = {u_n} + d = 7 + d\end{array} \right.\end{array}\)

Lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào 3 số ta được: \({u_{n - 1}} + 2,\;{u_n} + 3,\;{u_{n + 1}} + 9\) hay \(9 - d,\;10,\;16 + d\)

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {9 - d} \right)\left( {16 + d} \right) = {10^2}\\ \Leftrightarrow {d^2} + 7d - 44 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d =  - 11\\d = 4\end{array} \right.\end{array}\)      

Vậy 3 số cần tìm là: 18; 7; -4 hoặc 3; 7; 11.

Chọn C.

Gọi u₁; u₂; u₃ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Theo đề: u₁ – 1; u₂; u₃ – 19  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Ta có: 

Lấy  ⇔ 4(1 + q + q²) = 13(1 – 2q + q²)

⇔ 9q² – 30q + 9 = 0 ⇔ q = 3 ∨  q = 1/3

Vì  u₁; u₂; u₃ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3 khi đó u₁ = 5

Do đó u₁ = 5; u₂ = 15; u₃ = 45 

Vậy số lớn nhất trong 3 số là 45.

Gọi ba số đã cho u1,u2,u7 theo thứ tự là ba số của một cấp số cộng (un) và v1,v2, v3 của cấp số nhân (vn) . Theo giả thiết Ta có hệ:

Giải phương trình (6)

( 6 ) ⇔ u 1 q − 1 = 1 6 u 1 q − 1 q + 1 ⇔ u 1 q − 1 = 0 ​  ( l o a i ) 1 = 1 6 q + 1

Thay vào (*), ta được

u 1 1 + 5 + 5 2 = 93 ⇔ u 1 = 3 = v 1

Suy ra

u 2 = u 1 . q = 3.5 = 15 = v 2 u 3 = u 1 . q 2 = 3.25 = 75 = v 3

Vậy tích ba số  v 1 . v 2 . v 3 = 3.15.75 = 3375

Đáp án A

Gọi 3 số đã cho là \(u_1;u_2;u_3\), theo thứ tự là 3 số của một cấp số cộng

Còn cấp số nhân \(\left(v_n\right)\). Theo giả thiết ta có hệ :

\(\Leftrightarrow\begin{cases}v_1+v_2+v_3+v_4=93\left(a\right)\\v_1=u\left(1\right)_1\\u_1+d=v_1q\left(2\right)\\u_1+2d=v_1q^2\left(3\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}v_1\left(1+q+q^2\right)=93\left(a\right)\\d=u_1\left(q-1\right)\left(1V2\right)\left(4\right)\\6d=u_3-u_1=u_1\left(q^2-1\right)\left(2V3\right)\left(5\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}u_1\left(1+q+q^2\right)=93\left(a\right)\\u_1\left(q-1\right)=\frac{1}{6}u_1\left(q^2-1\right)\left(4V5\right)\left(6\right)\\d=u_1\left(q-1\right)\end{cases}\)

Từ (1) và (2) cho ta phương trình (4). Còn từ (2) và (3) cho phương trình (5). Mặt khác ừ (4) và (5) cho phương trình (6)

Do \(u_1\ne0,q\ne1\Rightarrow\left(6\right)\Leftrightarrow1=\frac{1}{6}\left(q+1\right)\Leftrightarrow q=5\)

Theo (a) : \(v_1+5v_1+25v_1=93\Leftrightarrow u_1=3\)

Vậy 3 số cần tìm là : 3,15,75