a: Xét tứ giác MAOB có 

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp

a) Ta có

MAMA là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 OEOI=OMOFOEOI=OMOF (tỉ số đồng dạng)

OCOE=OFOCOCOE=OFOC

⇒⇒ ΔOCF∼ΔOEC∆OCF∼∆OEC (c.g.c)(c.g.c)

⇒⇒ ˆOFC=ˆOCE=90°OFC^=OCE^=90°

⇒⇒ OC⊥CFOC⊥CF tại C

⇒⇒ FCFC là tiếp tuyến của đường tròn 

(ĐPCM)

a: Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của BA(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của BA

=>MO\(\perp\)BA tại C và C là trung điểm của AB

Xét ΔMAO vuông tại A có AC là đường cao

nên \(MC\cdot MO=MA^2\left(3\right)\)

Xét (O) có

ΔAQD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔAQD vuông tại Q

=>QA\(\perp\)QD tại Q

=>AQ\(\perp\)DM tại Q

Xét ΔADM vuông tại A có AQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MD=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(MC\cdot MO=MQ\cdot MD\)

Lời giải:
1. Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$.

Khi đó $\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Tứ giác $MAOB$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2.

Có: $MA=MB, OA=OB$ nên $MO$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow MO\perp AB$ tại $C$.

Xét tam giác $MOB$ vuông tại $B$ có đường cao $BC$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

$MC.MO=MB^2(1)$

Xét tam giác $MQB$ và $MBD$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MBQ}=\widehat{MDB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MQB\sim \triangle MBD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MQ}{MB}=\frac{MB}{MD}$

$\Rightarrow MQ.MD=MB^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow MQ.MD=MC.MO$ 

Hình vẽ:

a: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

nên MA=MB

mà OA=OB

nên OM là trung trực của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AI là đường cao

nên OI*OM=OA^2=R^2

b: Xét ΔOIF vuông tại I và ΔOEM vuông tại E có

góc IÒ chung

Do đó: ΔOIF đồng dạng với ΔOEM

=>OI/OE=OF/OM

=>OE*OF=OI*OM=OA^2=OC^2=R^2

=>FC là tiếp tuyến của (O)