cho G là trọng tâm tam giác ABC đều có cạnh bằng a. chứng ming \(\overrightarrow{GA}\) * \(\overrightarrow{GB}\) =\(\frac{a^2}{6}\)
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, gọi G là trọng tâm. Tính T: \(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)
\(T=\overrightarrow{GA}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}\)
\(=0\)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) thì G là trọng tâm của tam giác ABC ?
Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
\(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\).
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta sẽ chứng minh \(G\equiv G'\).
Thật vậy:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\).
Vậy \(G\equiv G'\).
Cho tam giác ABC , G là trọng tâm . Chứng minh rằng \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
Kéo dài đoạn BM , lấy thuộc BM sao cho MC' = MG
=> ADCG là hình bình hành
=> GB = 2GM = GC'
Ta có : \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{CG}\) (quy tắc hình bình hành)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}\)
Gọi G \(\in\) trung tuyến AE, D đối xứng với E qua G
=> BGCD là hình bình hành
=> \(\overrightarrow{GB}\) + \(\overrightarrow{GC}\) = \(\overrightarrow{GD}\) ( quy tắc HBH) và \(\overrightarrow{GA}\) +\(\overrightarrow{GD}\) = 0
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}\) + \(\overrightarrow{GB}\) + \(\overrightarrow{GC}\) = \(\overrightarrow{GA}\) +\(\overrightarrow{GD}\) = \(\overrightarrow{0}\) (đpcm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài cạnh AB biết cạnh AC = a, và góc giữa 2 vec tơ\(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GC}\) là nhỏ nhất
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
\(\overrightarrow{GD.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{GC}=0\)
Bài 1: Giải phương trình sau: \(x^2-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài cạnh AB biết cạnh AC=a, và góc giữa hai véctơ \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GD}\) nhỏ nhất.
1.
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+1}=a>0\\\sqrt{x^2-x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2b^2-a^2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}ab=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}b-a\right)\left(2b+\sqrt{3}a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=\sqrt{3}b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{3}.\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+1=3x^2-3x+3\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+2=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Bài 2:
Đặt \(AB=x>0\)
\(AG=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+x^2}\)
\(CG=\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2+AC^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+a^2}\)
\(BG=\dfrac{2}{3}\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^2+\dfrac{a^2}{4}}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}\)
\(\Leftrightarrow GB^2+GC^2+2GB.GC.cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=AG^2\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=\dfrac{AG^2-BG^2-CG^2}{2GB.GC}\)
\(=\dfrac{\dfrac{a^2+x^2}{4}-\left[\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{x^2}{4}+a^2\right)+\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{a^2}{4}+x^2\right)\right]}{\dfrac{2}{9}\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\)
\(=-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{2\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\le-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{5\left(x^2+a^2\right)}=-\dfrac{11}{20}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=x\Leftrightarrow AB=a\)
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào sau đúng ?
a) \(\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GI}\)
b) \(\overrightarrow{IG}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}\)
c) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}\)
d) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}\)
Tam giác ABC đều , AB=BC=CA=\(a\sqrt{2}\) . AH vuông góc với BC . Tính
a) \(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|\)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính \(\left|\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right|\)
Chứng Minh:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\) thì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC