Cho pt \(x^2-5x+3=0\) gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của pt. ko giải pt hãy tính
a, \(|x_1-x_2|\)
b, \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\)
3. cho `x^2 -5x+m+2=0`
Gọi `x_1 ;x_2` là 2 nghiệm pb của pt. tìm max \(P=x_1^2x_2+x_1x_2^2-x_1^2x_2^2-4\)
\(\text{Δ}=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m+2\right)\)
\(=25-4m-8=-4m+17\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>-4m+17>0
=>-4m>-17
=>\(m< \dfrac{17}{4}\)
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-5\right)}{1}=5\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+2}{1}=m+2\end{matrix}\right.\)
\(P=x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2^2-x_1^2\cdot x_2^2-4\)
\(=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1x_2\right)^2-4\)
\(=5\left(m+2\right)-\left(m+2\right)^2-4\)
\(=5m+10-m^2-4m-4-4\)
\(=-m^2+m+2\)
\(=-\left(m^2-m-2\right)\)
\(=-\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}\right)\)
\(=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}< =\dfrac{9}{4}\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m=\dfrac{1}{2}\)
\(\Delta=25-4\left(m+2\right)=17-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{17}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)
\(P=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1x_2\right)^2-4\)
\(=5\left(m+2\right)-\left(m+2\right)^2-4\)
\(=-\left[\left(m+2\right)-\dfrac{5}{2}\right]^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4}\)
\(P_{max}=\dfrac{9}{4}\) khi \(m+2=\dfrac{5}{2}\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
1) Cho pt \(3x^2+5x-6=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) (không giải pt)
Tính giá trị biểu thức \(A=\left(x_1-2x_2\right)\left(2x_1-x_2\right)\)
2) Cho pt \(3x^2-5x-3=0\) có nghiệm \(x_1,x_2\) ( không giải pt)
Tính giá trị biểu thức \(B=x^3_1.x_2+x_1.x^3_2\)
1, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1-2x_2\right)\left(2x_1-x_2\right)\\ =2x_1^2-4x_1x_2-x_1x_2+2x_1^2\\ =2\left(x_1^2+x_2^2\right)-5x_1x_2\\ =2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-5x_1x_2\\ =2\left(-5\right)^2-4.\left(-6\right)-5.\left(-6\right)\\ =104\)
2, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(B=x_1^3x_2+x_1x_2^3\\ =x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)\\ =\left(-3\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]\\ =\left(-3\right)\left[5^2-2\left(-3\right)\right]\\ =-93\)
Cho pt \(x^2-5x+3\)=0 gọi x1,x2 là hai nghiệm của pt. ko giải pt hãy tính
a, \(C=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\)
b, \(D=\left|x_1-x_2\right|\)
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1x_2>0\Rightarrow x_1;x_2\) cùng dấu
\(\Rightarrow C=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\left|x_1+x_2\right|=5\)
\(D^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=13\)
\(\Rightarrow D=\sqrt{13}\)
1) Cho pt \(5x^2-7x+1=0\)
a) C minh pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)
b) Tính giá trị biểu thức \(A=\left(x_1-\dfrac{7}{5}\right)x_1+\dfrac{1}{25x^2_2}+x^2_2\)
2) Cho pt \(x^2-4+1-2m=0\) (x là ẩn số)
a) tìm m để pt có nghiệm
b) tìm m để 2 nghiệm \(x_1,x_2\) của pt thỏa \(x^2_1+x^2_2=6\)
`1)`
$a\big)\Delta=7^2-5.4.1=29>0\to$ PT có 2 nghiệm pb
$b\big)$
Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{7}{5}\\x_1x_2=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1-\dfrac{7}{5}\right)x_1+\dfrac{1}{25x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1-x_1-x_2\right)x_1+\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=-x_1x_2+\left(x_1x_2\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\)
\(\Rightarrow A=-x_1x_2+x_1^2+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\\ \Rightarrow A=\left(\dfrac{7}{5}\right)^2-3\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{34}{25}\)
Cho pt \(x^2-\left(m-3\right)x-2m+2=0\)
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt đã cho. Tìm m để \(x_2^2-x_1=2\)
Sửa đề: \(x_2^2-x_1^2=2\)
Ta có: \(\Delta=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+2\right)\)
\(=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)
\(=m^2-6m+9+8m-8\)
\(=m^2+2m+1\)
\(=\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1\cdot x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4\cdot x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=m^2-6m+9+8m-8=m^2-2m+1\)
\(\Leftrightarrow x_1-x_2=m-1\)
Ta có: \(x_2^2-x_1^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(m-3\right)=2\)
\(\Leftrightarrow m-3-m^2+3m-2=0\)
\(\Leftrightarrow-m^2+4m-5=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+5=0\)(Vô lý)
Vậy: Không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \(x_2^2-x_1^2=2\)
\(\Delta=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)=\left(m+1\right)^2\ge0\) ;\(\forall m\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)
\(x_2^2-x_1=2\Leftrightarrow x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2-x_1=2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)x_2+2m-2-x_1=2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-\left(x_1+x_2\right)+2m-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-m+3+2m-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2=-m+1\Rightarrow x_2=\dfrac{-m+1}{m-2}\)
\(\Rightarrow x_1=m-3-x_2=\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\)
Thế vào \(x_1x_2=-2m+2\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{-m+1}{m-2}\right)\left(\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\right)=-2m+2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\\dfrac{m^2-4m+5}{\left(m-2\right)^2}=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
(1) \(\Leftrightarrow m^2-4m+5=2m^2-8m+8\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=3\end{matrix}\right.\)
Cho pt \(x^2-\left(m-3\right)x-2m-2=0\)
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt đã cho. Tìm m để \(x_2^2-x_1=2\)
Đây chắc chắn là 1 đề bài sai (pt giải ra m là 1 pt bậc 3 hệ số xấu)
Bạn kiểm tra kĩ lại đề bài, phần hệ số các ẩn của pt bậc 2 ấy
Cho pt : \(m^2-5x+m=0\) ( m là tham số )
a ) Gpt với m = 6
b ) Tìm m để pt có \(n_o\) \(x_1,x_2\) thỏa mãn : \(|x_1-x_2|=3\)
Mình sửa lại đề : x2 - 5x + m = 0 (1)
Với m = 6
Phương trình trở thành :
x2 - 5x + 6 = 0
\(\Delta=\left(-5\right)^2-4.1.6=1>0\)
=> Phương trình 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}=3;x_2=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}=2\)
Tập nghiệm S = {3;2}
b) Với m = 0 có (1) <=> x2 - 5x = 0
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=0\end{matrix}\right.\)(loại)
Với \(m\ne0\) : có \(\Delta=25-4m\)
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{25}{4}\)
Hệ thức Viete : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Khi đó |x1 - x2| = 3
<=> (x1 - x2)2 = 9
<=> (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 9
<=> 52 - 4m = 9
<=> m = 4 (tm)
Vậy m = 4 thì thóa mãn yêu cầu đề
6 Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt \(x^2-x-3=0\) .Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a. A=\(x_1^2+x_2^2\)
b. B=\(x_1^2x_2+x_1x_2^2\)
c. C=\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\)
d. D=\(\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{1}{1}=1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3\end{matrix}\right.\)
a
\(A=x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1^2-2.\left(-3\right)=1+6=7\)
b
\(B=x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(-3\right).1=-3\)
c
\(C=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1x_2}+\dfrac{x_1}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}\)
d
\(D=\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_2^2}{x_1x_2}+\dfrac{x_1^2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1^2-2.\left(-3\right)}{-3}=\dfrac{1+6}{-3}=\dfrac{7}{-3}=-\dfrac{3}{7}\)
Cho pt \(x^2-(2m+3)x+m=0\). Gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm của pt. Tìm giá trị của m để \(x^2_1+x^2_2\) đạt GTNN
\(\Delta=\left(2m+3\right)^2-4m=4m^2+12m+9-4m=4m^2+8m+9\)
\(=4\left(m^2+2m+1-1\right)+9=4\left(m+1\right)^2+5\ge5>0\forall m\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+3\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)Ta có : \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(\left(2m+3\right)^2-2m=4m^2+12m+9-2m=4m^2+10m+9\)
\(=4m^2+\dfrac{2.2m.10}{4}+\dfrac{100}{16}-\dfrac{100}{16}+9\)
\(=\left(2m+\dfrac{10}{4}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\forall m\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = -5/4