Do \(\left|MA-MB\right|\ge0\Rightarrow\left|MA-MB\right|_{min}=0\) khi \(MA=MB\Leftrightarrow MA^2=MB^2\)

Gọi \(M\left(0;a\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(3;a-1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(5;a-5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MA^2=3^2+\left(a-1\right)^2=a^2-2a+10\\MB^2=25+\left(a-5\right)^2=a^2-10a+50\end{matrix}\right.\)

\(MA^2=MB^2\Rightarrow a^2-2a+10=a^2-10a+50\)

\(\Rightarrow8a=40\Rightarrow a=5\Rightarrow M\left(0;5\right)\)

Cách 1:

Do M thuộc d, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(2m-2;m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2m-2;m-6\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2m-4;m-5\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(T=MA+MB=\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(m-6\right)^2}+\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-5\right)^2}\)

\(T=\sqrt{5m^2-20m+40}+\sqrt{5m^2-26m+41}\)

\(T=\sqrt{5\left(m-2\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{5\left(\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}\)

\(T\ge\sqrt{5\left(m-2+\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(2\sqrt{5}+\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{53}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(6\left(m-2\right)=10\left(\dfrac{13}{5}-m\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{8}\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Cách 2:

Thay tọa độ A và B vào pt (d) được 2 giá trị cùng dấu âm \(\Rightarrow A;B\) nằm cùng phía so với (d)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc với d \(\Rightarrow\) pt d' có dạng:

\(2\left(x-0\right)+1\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y-6=0\)

Gọi C là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(2;2\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua d \(\Leftrightarrow C\) là trung điểm AD \(\Rightarrow D\left(4;-2\right)\)

Phương trình BD có dạng: \(7\left(x-2\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow7x+2y-24=0\)

\(MA+MB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của BD

\(\Rightarrow\) Tọa độ M thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}7x+2y-24=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Đáp án A.

Gọi \(M\left(0;m\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(-1;m+1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(-3;m-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(T=AM^2+BM^2=1+\left(m+1\right)^2+9+\left(m-2\right)^2\)

\(=10+m^2+2m+1+m^2-4m+4\)

\(=2m^2-2m+15=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{29}{2}\ge\frac{29}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{1}{2}\) hay \(M\left(0;\frac{1}{2}\right)\)

Chọn C

Ta có G(1;0;2), ta tìm hình chiếu của G lên mặt phẳng (P) bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng qua G vuông góc với mặt phẳng (P) với mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng qua điểm G và vuông góc với mặt phẳng (P)