Câu hỏi của Phung Thi Thanh Thao - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Tham khảo tính được x,y,z. Thay vào A

Áp dụng bất đẳng thức cho ba số  \(x,y,z\in Z^+\), ta được
\(x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}\)  \(\left(1\right)\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)   \(\Rightarrow\)  \(\frac{y+z}{y^2+z^2}\le\frac{y+z}{2yz}\)  \(\left(2\right)\)

\(z^2+x^2\ge2xz\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{z+x}{2xz}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\)  ta được  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{x+y}{2xy}+\frac{y+z}{2yz}+\frac{z+x}{2xz}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(P\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vậy,  \(P_{max}=2015\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

MIK LM CÂU KHÓ NHẤT NHÁ!

c) Có: \(\frac{2x}{3}=\frac{3y}{4}=\frac{4z}{5}\Leftrightarrow\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{\frac{4}{3}}=\frac{z}{\frac{5}{4}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{\frac{4}{3}}=\frac{z}{\frac{5}{4}}=\frac{x+y+z}{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}}=\frac{49}{\frac{49}{12}}=12\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=12.\frac{3}{2}=18\\y=12.\frac{4}{3}=16\\z=\frac{5}{4}=15\end{matrix}\right.\)

Vậy...

a) Ta có: \(\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}z=\frac{2}{3}y.\)

=> \(\frac{x}{2}=\frac{3z}{4}=\frac{2y}{3}\)

=> \(\frac{x}{2}=\frac{z}{\frac{4}{3}}=\frac{y}{\frac{3}{2}}\) và \(x-y=15.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x}{2}=\frac{z}{\frac{4}{3}}=\frac{y}{\frac{3}{2}}=\frac{x-y}{2-\frac{3}{2}}=\frac{15}{\frac{1}{2}}=30.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{2}=30\Rightarrow x=30.2=60\\\frac{z}{\frac{4}{3}}=30\Rightarrow z=30.\frac{4}{3}=40\\\frac{y}{\frac{3}{2}}=30\Rightarrow y=30.\frac{3}{2}=45\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;z;y\right)=\left(60;40;45\right).\)

Chúc bạn học tốt!

b, \(\dfrac{x-1}{2}\) = \(\dfrac{y-2}{3}\) = \(\dfrac{z-3}{4}\) = k ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2k+1\\y=3k+2\\z=4k+3\end{matrix}\right.\)

Mà 2x + 3y - z = 50

⇒ 2(2k + 1) + 3(3k + 2) - (4k + 3) = 50

4k + 2 + 9k + 2 - 4k - 3 = 50

(4 + 9 - 4)k = 50 - 2 - 6 + 3

9k = 45

k = 5

+ x = 2.5 = 10

   y = 3.5 = 15

   z = 4.5 = 20

Vậy x = 10; y = 15; z = 20

\(A=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\right]+\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)^2\) là một số chính phương (đpcm)

\(\left[2\left(x-1\right)-3\left(y+2\right)+4\left(z-3\right)\right]^2\le\left(2^2+3^2+4^2\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2\right]\)

\(\Rightarrow\left(2x-3y+4z-20\right)^2\le29\)

\(\Rightarrow\left|2x-3y+4z-20\right|\le\sqrt{29}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2=1\\\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-3}{4}\end{matrix}\right.\)