Lời giải:

Lấy PT(1) + 3PT(2) ta được:
$mx-3y+3x+3y=7$

$\Leftrightarrow x(m+3)=7(*)$

Để hpt có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thì pt $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất.

Điều này xảy ra khi $m+3\neq 0\Leftrightarrow m\neq -3$
Khi đó:

$x=\frac{7}{m+3}$

$x=1-y=1-\frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta thấy:

$x^2+y^2\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x^2+y^2$ đạt min bằng $\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=y$

$\Leftrightarrow \frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

$\Leftrihgtarrow 7=m-4$

$\Leftrightarrow m=11$ 

1, y' = \(\dfrac{m^2-9}{\left(3x-m\right)^2}\)

ycbt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-9< 0\\\dfrac{m}{-3}\ne x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< 3\\m\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0\le m\le3\)

a/ \(y'=3mx^2-2\left(m+1\right)x+3m\)

Xet m=0 ko thoa man

Xet m khac 0

\(y'\ge0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-9m^2\le0\Leftrightarrow8m^2-2m-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+8\le0\left(vl\right)\) => ko ton tai m thoa man

b/ \(y'=mx^2-2mx+2m-1\)

m=0 ko thoa man

Xet m khac 0

\(y'\ge0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-m\left(2m-1\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-m\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ge1\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2}\ne-\dfrac{1}{m}\)

=>\(-m^2\ne2\)(luôn đúng)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=m^2\\2x+my=m^2+2m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-m^2\\2x+m\left(mx-m^2\right)=m^2+2m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-m^2\\2x+m^2x=m^3+m^2+2m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-m^2\\x\left(m^2+2\right)=\left(m+1\right)\left(m^2+2\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=mx-m^2=m\left(m+1\right)-m^2=m\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=x^2+3y+4\)

\(=\left(m+1\right)^2+3m+4\)

\(=m^2+5m+5\)

\(=m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{5}{4}\)

\(=\left(m+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}>=-\dfrac{5}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi m=-5/2

Đề không hiển thị hệ phương trình bạn à.