Question

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-3y=4\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) để \(x^2+y^2\) đạt min.

Answer 1

Lời giải:

Lấy PT(1) + 3PT(2) ta được:
$mx-3y+3x+3y=7$

$\Leftrightarrow x(m+3)=7(*)$

Để hpt có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thì pt $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất.

Điều này xảy ra khi $m+3\neq 0\Leftrightarrow m\neq -3$
Khi đó:

$x=\frac{7}{m+3}$

$x=1-y=1-\frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta thấy:

$x^2+y^2\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x^2+y^2$ đạt min bằng $\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=y$

$\Leftrightarrow \frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

$\Leftrihgtarrow 7=m-4$

$\Leftrightarrow m=11$