a: \(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2-8m+5\)

\(=\left(4m^2-8m+4\right)+5=4\left(m-1\right)^2+5>0\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m-1<0

hay m<1

a)

Thế m = 1 vào PT được: \(x^2+2\left(1+1\right)x-2.1^4+1^2=0\)

<=> \(x^2+4x-1=0\)

\(\Delta=16+4=20\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2+\sqrt{5}\\x_2=-2-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

b) đề đúng chưa=)

a(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b)=0 (*) 
<=> (a+b+c)x^2 -2x(ab+bc+ca) +3abc =0 

D'(Delta ') = (ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) (**) 

Áp dụng BĐT vào (**): (x+y+z)^2/3 >= xy+yz+zx 
<=> D' = (ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) >= 0 

=> Phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Ko chắc nha !

Minh Anh

a: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+20\)

\(=4m^2-16m+24\)

\(=4m^2-16m+16+8=\left(2m-4\right)^2+8>0\)

Vậy: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì 2m-5>0

hay m>5/2

Bài 1 : a ) Tại m = \(\frac{1}{2}\)ta được phương trình mới là :

x² - 7x = 0

<=> x ( x - 7 ) = 0

<=> x = 0 hoặc x - 7 = 0

<=> x = 0 hoặc x = 7

c) x² - 2( m + 3 )x + 2m - 1 = 0 ( a = 1 ; b = -2m - 6 ; c = 2m - 1 )

Δ = ( - 2m - 6 )² - 4 . 1 . ( 2m - 1 )

= 4m² + 24m + 36

= 4 ( m² + 6m + 9 )

= 4 ( m + 3 )² ≥ 0 , với ∀m

Phương trình: \(x^2-2\left(m-1\right)x+m-4=0\left(1\right)\)

a/ Xét phương trình (1) có \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-4\right)\)

= \(4m^2-8m+4-4m+16\)

= \(4m^2-12m+20\)

= \(\left(2m-3\right)^2+11\)

Ta luôn có: \(\left(2m-3\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\left(2m-3\right)^2+11>0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\Delta>0\) với mọi m

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b/ Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(A=x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)\)

= \(x_1-x_1x_2+x_2-x_1x_2\)

=\(\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\)

= \(2\left(m-1\right)-2\left(m-4\right)\)

= 2m-2-2m+8

= 6

Vậy biểu thức \(A=x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)\) không phụ thuộc vào m

Ta có: \(\Delta=\left(a+1\right)^2-4.1.\left(-2\right).\left(a^2-a+1\right)=\left(a+1\right)^2+8\left(â^2-a+1\right)=9a^2-6a+9=\left(3a-1\right)^2+8\ge0với\forall a\)

=> Đpcm