a, Để phương trình  có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)thì \(\Delta=\left(m-1\right)^2-\left(2m-4\right)=m^2-4m+5>0\)

Dễ thấy \(\Delta\ge1\forall m\)nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=2m-4\end{cases}}\)

\(\left|x_1-x_2\right|=4\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=16\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=16\)

\(\Rightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(2m-4\right)=16\)\(\Rightarrow m^2+2m-1=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=-1+\sqrt{2}\\m=-1-\sqrt{2}\end{cases}}\)

b. Ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=2m-4\end{cases}\Rightarrow x_1+x_2-x_1.x_2}=2\) 

Theo định lí Vi-ét: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\2x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1+x_2+2x_1x_2=2\)

Theo định lí Vi-ét: 

{x1+x2=2(m+1)x1x2=−m{x1+x2=2(m+1)x1x2=−m

⇔{x1+x2=2m+22x1x2=−2m⇔{x1+x2=2m+22x1x2=−2m

Coi như pt đã cho có 2 nghiệm, khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2m^2+2}{m^2+1}=-2+\dfrac{4}{m^2+1}\\x_1x_2=\dfrac{m}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+2=\dfrac{4}{m^2+1}\\x_1x_2=\dfrac{m}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+1=\dfrac{4}{x_1+x_2+2}\\x_1x_2=\dfrac{m}{m^2+1}=\dfrac{m}{4}\left(x_1+x_2+2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2=\dfrac{2-x_1-x_2}{x_1+x_2+2}\\x_1x_2=\dfrac{m}{4}\left(x_1+x_2+2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2=\pm\dfrac{1}{4}\left(x_1+x_2+2\right)\sqrt{\dfrac{2-x_1-x_2}{x_1+x_2+2}}\)

Phương trình có 2 nghiệm pb khi:

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2>0\Leftrightarrow2m+1>0\)

\(\Rightarrow m>-\dfrac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_1+x_2-2}{2}=m\\x_1x_2=m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\right)^2\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

a,Phương trình có 2 nghiệm pb khi: \(\Delta'>0\Rightarrow\left(m+1\right)^2-m^2>0\Leftrightarrow2m+1>0\Leftrightarrow m>\dfrac{-1}{2}\)

\(x^2+2x-1-m^2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=m^2\)

                                    \(\Leftrightarrow x-1=\sqrt{m^2}=\left|m\right|\)

                                    \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=m\\x-1=-m\end{matrix}\right.\)

                                    \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+m\\x=1-m\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x_1=1+m\\x_2=1-m\end{matrix}\right.\)

b) Theo định lí Vi-et ta có:

⇒ 3( x 1  + 2  ) + x 1 x 2  = -6(m + 5) + 6m - 30

= -6m - 30 + 6m - 30 = -60

Vậy hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m là

3( x 1  + x 2  ) +  x 1 x 2

a: Thay x=5 vào pt, ta được:

5^2-2(m-1)*5+m^2-4m+3=0

=>m^2-4m+3+25-10m+10=0

=>m^2-14m+38=0

=>(m-7)^2=11

=>\(m=\pm\sqrt{11}+7\)

b: x1+x2=2m-2

x1*x2=m^2-4m+3

(x1+x2)^2-4x1x2

=4m^2-8m+4-4m^2+4m-6

=-4m-2

(x1+x2)^2-4x1x2+2(x1+x2)

=-4m-2+4m-4=-6

Lời giải:
a. Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=m+2$
$x_1x_2=m-1$

$\Rightarrow x_1+x_2-x_1x_2=(m+2)-(m-1)=3$

$\Leftrightarrow x_1+x_2-x_1x_2-3=0$ (đây chính là biểu thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$)

b.

$x_1+x_2=-(4m+1)$

$x_1x_2=2(m-4)$

$\Rightarrow x_1+x_2+2x_1x_2=-(4m+1)+4(m-4)=-17$

$\Rightarrow x_1+x_2+2x_1x_2+17=0$

a) PT có 2 nghiệm dương

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\P>0\\S>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+3\right)^2-\left(4m-1\right)\ge0\\4m-1>0\\2\left(m+3\right)>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2+2m+10\ge0\\m>\frac{1}{4}\\m>-3\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\)

b) vì \(\Delta'>0\)nên PT đã cho luôn có hai nghiệm x₁,x₂ với mọi m.

Áp dụng hệ thức Vi-et,ta có :

\(\hept{\begin{cases}S=2\left(m+3\right)\\P=4m-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2S=4m+12\\P=4m-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2S-P=13\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=13\)