\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

Hoặc:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\Rightarrow xy+yz+zx=0\left(1\right)\)

Đặt xy=a ; yz=b ; xz =c 

=> \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3}{\left(xyz\right)^3}\)

Xét \(\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3=a^3+b^3+c^3\)

mà \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc+3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3abc+3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)^3-3abc\left(a+b+c\right)+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)+3abc\)

Mà ta có \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

=> \(\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3=3\left(xyz\right)^2\)

=> \(\frac{\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3}{\left(xyz\right)^3}=\frac{3\left(xyz\right)^2}{\left(xyz\right)^3}=\frac{3}{xyz}\left(dpcm\right)\)

Bạn rút gọn vài bước đi nhé :3 mk trình bày ko hay cho lắm :3 nhớ k giùm mk nha :3

Em mới học lớp 7

e năm nay ms lên lớp 8

sorry a trai nhìu nhìu

Ta có :\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\left(1\right).\)( vì x,y >0 ; \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{xy^2}{x^2+y^2}\le\frac{xy^2}{2xy}.\))

Chứng minh tương tự ta có : 

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}\ge y-\frac{z}{2}\left(2\right).\);       \(\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge z-\frac{x}{2}\left(3\right).\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}.\)( đpcm)

\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)

đặt A=\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}\) +\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}\) +\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)=\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{x+1}\)+\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{y+1}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{z+1}\)

Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) (bạn tự chứng minh nha,quy đồng ,nhân chéo ,chuyển về )⇒\(\frac{1}{a+b}\) ≤\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))

⇒A≥\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)+3)

⇒A≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))-\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{9}{x+y+z}\))-\(\frac{3}{4}\)

⇒a≥\(\frac{9}{4}\)-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) dpcm

dấu bằng xảy ra⇔x=y=z=1

\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)

\(VT-VP=\Sigma\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{y^2}\ge0\)