Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)nên \(\sin \alpha  > 0\). Mặc khác, từ  \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) suy ra

\(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Do đó    \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\)

a) Vì \(0<\alpha <\frac{\pi }{2} \) nên \(\sin \alpha  > 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) suy ra

\(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a}  = \sqrt {1 - \frac{1}{{25}}}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\)

Do đó, \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 \) và \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi\) nên \(\cos \alpha  < 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) suy ra

       \(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a}  = \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = -\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Do đó, \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = -\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = -\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

c) Ta có: \(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Ta có: \({\tan ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha  + 1}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\;\) và \(\,\,\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  = -\frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  = \sqrt 5 .(-\frac{1}{{\sqrt 6 }}) = -\sqrt {\frac{5}{6}} \)

d) Vì \(\cot \alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\,\) nên \(\,\,\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} =  - \sqrt 2 \)

Ta có: \({\cot ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha  + 1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {\frac{2}{3}} \)

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi  \Rightarrow \sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {\frac{2}{3}} \)

Ta có: \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  = \cot \alpha .\sin \alpha  = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( { - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

a:

2: pi/2<a<pi

=>sin a>0 và cosa<0

tan a=-2

1+tan^2a=1/cos^2a=1+4=5

=>cos^2a=1/5

=>\(cosa=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(sina=\sqrt{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

cot a=1/tan a=-1/2

3: pi<a<3/2pi

=>cosa<0; sin a<0

1+cot^2a=1/sin^2a

=>1/sin^2a=1+9=10

=>sin^2a=1/10

=>\(sina=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(cosa=-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\)

tan a=1:cota=1/3

b;

tan x=-2

=>sin x=-2*cosx

\(A=\dfrac{2\cdot sinx+cosx}{cosx-3sinx}\)

\(=\dfrac{-4cosx+cosx}{cosx+6cosx}=\dfrac{-3}{7}\)

2: tan x=-2 

=>sin x=-2*cosx

\(B=\dfrac{-4cosx+3cosx}{-6cosx-2cosx}=\dfrac{1}{8}\)

a)  Ta có \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) nên \({\cos ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{16}}\)

Lại có \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{1}{4}\)

Khi đó \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} =  - \sqrt {15} ;\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)

b)

Ta có \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}\) nên \({\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{5}{9}\)

Lại có \( - \pi  < \alpha  < 0\) nên \(\sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Khi đó \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

c)

Ta có \(\tan \alpha  = 3\) nên

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {3^2} = 10\,\, \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{9}{{10}}\)

Với \( - \pi  < \alpha  < 0\) thì \(\sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {\frac{9}{{10}}} \)

Với \( - \pi  < \alpha  <  - \frac{\pi }{2}\) thì \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)

và  \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha  < 0\) thì \(\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)

d)

Ta có \(\cot \alpha  =  - 2\) nên

\(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} =  - \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {( - 2)^2} = 5\,\, \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{5}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{4}{5}\)

Với \(0 < \alpha  < \pi \) thì \(\sin \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {\frac{1}{5}} \)

Với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) thì \(\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{4}{5}} \)

và  \(\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi \) thì \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{4}{5}} \)

\(0< a< \dfrac{\pi}{2}\Rightarrow0< \dfrac{a}{2}< \dfrac{\pi}{4}\Rightarrow sin\dfrac{a}{2}>0\)

\(\Rightarrow sin\dfrac{a}{2}=\sqrt{1-cos^2\dfrac{a}{2}}=\dfrac{3}{5}\)

\(sina=2sin\dfrac{a}{2}cos\dfrac{a}{2}=2.\left(\dfrac{4}{5}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{24}{25}\)

\(cosa=\pm\sqrt{1-sin^2a}=\pm\dfrac{7}{25}\)

\(tana=\dfrac{sina}{cosa}=\pm\dfrac{24}{7}\)

có `cos α=1/2`

`=>cos^2 α=1/4`

Mà `cos^2 α +sin^2 α=1`

`=>1/4+sin^2 α=1`

`=>sin^2 α=1-1/4=3/4`

\(=>sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (vì `sin α` >0)

ta có `sin α : cos α=tan α`

\(=>tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}\)

ta có `tan α * cot α =1`

\(=>\sqrt{3}\cdot cot\alpha=1\\ =>cot\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

tương tự ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}sin\beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\cos\beta=1\\cot\beta=1\end{matrix}\right.\)

+) Nửa đường tròn đơn vị: nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành (H.3.2).

+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\)có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó:

\(\sin \alpha  = {y_0}\) là tung độ của M

\(\cos \alpha  = {x_0}\) là hoành độ của M

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha  \ne {90^o})\)

\(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha  \ne {0^o},\alpha  \ne {180^o})\)