3, \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{b+c}}}=\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : \(\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}\le\frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right).\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right).\);  \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right).\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2.\)( đpcm )

dấu " = " xẩy ra khi a = b = c > 0

1.Đường thẳng \(y=ax-1\) đi qua điểm \(M\left(-1;1\right)\) khi và chỉ khi \(1=a\left(-1\right)-1\)\(\Leftrightarrow a=-2\)

Vậy \(a=-2\)

2.a,\(P=\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}.\dfrac{\left(a-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(a+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a-1\right)\left(a\sqrt{a}-a-a+\sqrt{a}-a\sqrt{a}-a-a-\sqrt{a}\right)}{2\sqrt{a}\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{-4\sqrt{a}.\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}\)

\(=-2\sqrt{a}\)

Vậy P=\(-2\sqrt{a}\)

b, Ta có \(P\ge-2\Leftrightarrow-2\sqrt{a}\ge-2\Leftrightarrow\sqrt{a}\le1\Leftrightarrow0\le a\le1\)

Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có \(0< a< 1\)

Vậy \(P\ge-2\sqrt{a}\) khi và chỉ khi \(0< a< 1\)

-Chúc bạn học tốt-

Giả sử trong 100 số đó k có 2 số nào bằng nhau thì

\(A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

+ Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=2.\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< 2.\frac{n-\left(n-1\right)}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Do đó: \(A\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{100}-1\right)\Rightarrow A< 19\) ( trái vs giả thiết )

=> điều giả sử là sai => đpcm

1.

\(a^2=3-2\sqrt{2}=\sqrt{9}-\sqrt{9-1}\)

2.

\(A=\left(x+y+1-2\sqrt{xy}-2\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)+\left(x-4\sqrt{x}+4\right)+2015\)

\(A=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+\left(\sqrt{x}-2\right)^2+2015\ge2015\)

\(A_{min}=2015\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\)

Phản chứng: giả sử trong 361 số đó, không có 2 số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát, giả sử:

\(0< a_1< a_2< ...< a_{361}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{361}\ge361\end{matrix}\right.\)

Đặt \(S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{361}}}\)

\(\Rightarrow S\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{361}}\)

\(\Rightarrow S\le1+2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{361}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{360}+\sqrt{361}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}+...+\dfrac{\sqrt{361}-\sqrt{360}}{\left(\sqrt{361}+\sqrt{360}\right)\left(\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{361}-1\right)=37\)

Trái với giả thiết \(S=37\)

\(\Rightarrow\) Điều giả sử là sai hau trong 361 số tự nhiên đó tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

2/ Mình sẽ chứng minh bằng phản chứng :)

Giả sử rằng trong 100 số đó không tồn tại hai số nào bằng nhau, khi đó không mất tính tổng quát, ta gọi \(a_i< a_{i+1}....\) với \(i=\overline{1,100}\) 

Bằng cách giả sử như vậy, ta có thể đặt \(a_i\ge i\)

Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\ge\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Đặt \(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+..+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Ta chứng minh bài toán phụ : Với n là số tự nhiên lớn hơn 0 thì \(\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

Thật vậy : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

Áp dụng với n = 1,2,...,100 được : 

\(A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{101}-\sqrt{1}\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\)

Mình làm đến đây nhưng không biết vì sao nó lại chưa chặt, có ai có cách khác không?

Giả sử a₁, a₂, ..., a₁₀₀ là 100 số khác nhau thì 

\(P=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Ta chứng minh với mọi n ≥ 2 thì 

\(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=1+2\left(\sqrt{100}-1\right)=19\)

\(\Rightarrow P< 19\)

Vậy nếu như a₁, a₂, ..., a₁₀₀ là 100 số tự nhiên khác nhau thì tổng P luôn luôn < 19.

Nên để tổng P = 19 thì phải có ít nhất 2 trong 100 số đó phải bằng nhau