\(x=y=z=0\)là n⁰ của pt

xét x,y,z khác 0 

\(\frac{5\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=4\)

\(5\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4\)

\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}⋮4\)

ta có \(\left|x\right|\ge1< =>\frac{1}{\left|x\right|}\le1\)

tương tự với 2 cái còn lại 

\(\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\le3\)

\(\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\ge\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)

\(< =>\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\le3\)

\(-3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)

mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}⋮4\)từ -3 đến 3 chỉ có số 0 chia hết cho 4 mà x,y,z khác 0 (loại)

vậy bộ nghiệm duy nhất của pt là \(x=y=z=0\)

trường hợp 10,5,2 và hoán vị của bộ này vẫn thỏa mãn đề bài mà nhỉ

Tui vừa trả lời 3 bài này ở câu của Nguyễn Anh Quân

Xem tui giải đúng không nha

Xin Wrecking Ball nhận xét

Đỗ Đức Đạt cop trên Yahoo

1...Chia cả hai vế cho xyz ta được 
3xy/xyz + 3yz/xyz + 3zx/xyz = 4xyz/xyz 
<=>3/x + 3/y + 3/z = 4 
<=>1/x + 1/y + 1/z = 4/3 
Vì x,y,z bình đẳng nên giả sử 0<x<=y<=z 
+nếu x>=4=> y>=4;z>=4 
=> 1/x + 1/y + 1/z <= 1/4 + 1/4 + 1/4 =3/4 < 4/3 => pt vô nghiệm 
+nếu x=1 => 1+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=1/3 
<=> 3(y+z)=yz 
<=> 3y+3z-yz=0 
<=> 3y-yz+3z-9=-9 
<=> y(3-z)-3(3-z)=-9 
<=> (3-z)(3-y)=9 
Vì y,z nguyên dương nên (3-y),(3-z) nguyên dương 
mà 9=3*3=1*9=9*1 
==>3-z=3 và 3-y=3 => z=0 và y=0 (loại vì y,z nguyên dương) 
+nếu x=2 => 1/2+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=5/6 
<=> 6(y+z)=5yz 
<=> 6y+6z-5yz=0 
<=> 30y-25yz+30z-36=-36 
<=> 5y(6-5z)-6(6-5z)=-36 
<=> (5z-6)(5y-6)=36 
Vì y,z nguyên dương nên (5y-6),(5z-6) nguyên dương 
mà 36=6*6=2*18=18*2=3*12=12*3=4*9=9*4 
Giải tương tự phần trên ta được 
y=2,z=3 hoặc y=3,z=2 
+nếu x=3 => 1/3+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=1 
Giải tương tự phần trên ta được y=z=2 
Vậy (x;y;z)=(2;2;3);(2;3;2);(3;2;2)

MK cop nhưng ủng hộ mk nha , mk có lòng trả lời

https://diendantoanhoc.net/topic/35339-pt-nghi%E1%BB%87m-nguyen-day/

xét x=y=z=0 là nghiệm của pt

xét x,y,z đều khác 0, ta có

\(5\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)=4\)

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}⋮4\)

Ta có \(\left|x\right|\ge1\Rightarrow\dfrac{1}{\left|x\right|}\le1\)

Tương tự, rồi cộng lại, ta có

\(\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le3\)

Mà \(\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\ge\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\Rightarrow\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\le3\)

=> \(3\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge-3\)

Mà từ 3 đến -3 chỉ có 0 chia hết cho 4, nhng x,y,z khác 0 => vô lí

Vậy pt có bộ nghiệm nguyên là x=y=z=0

a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)  

 Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)

\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)

\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)

\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)

\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)

Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)

Tìm nốt y và thay vào tìm ra x

a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)

\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)

\(\Leftrightarrow0< y\le8\)

\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt

b/ \(5\left(xy+yz+zx\right)=4xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{5}\)

Giả sử: \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{4}{5}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{x}\)

\(\Leftrightarrow0< x\le0\)

Nên vô nghiệm

Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le3xy\)

\(\Rightarrow xyz+2\le3xy\)

\(\Rightarrow xy\left(3-z\right)\ge2>0\)

\(\Rightarrow3-z>0\Rightarrow z< 3\)

\(\Rightarrow z=\left\{1;2\right\}\)

TH1:

\(z=1\Rightarrow xy+x+y=xy+2\)

\(\Leftrightarrow x+y=2\Rightarrow x=y=1\)

\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)

TH2: \(z=2\Rightarrow xy+2x+2y=2xy+2\)

\(\Rightarrow xy-2x-2y+2=0\)

\(\Rightarrow xy-2x-2y+4=2\)

\(\Rightarrow x\left(y-2\right)-2\left(y-2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)=2\) (pt ước số cơ bản)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(4;3;1\right)\)

Vậy nghiệm của pt đã cho là:

\(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right);\left(4;3;1\right)\) và các hoán vị của chúng

Áp dụng bất đẳng thứ Cauchy (AM-GM):

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}}=3\sqrt[3]{xyz}\)

Mà: \(0\le xyz\le1\Leftrightarrow xyz=1\)

Từ đó: \(\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{z}\\\frac{xy}{z}\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{z^2}}\)  (1)

Tương tự: \(\hept{\begin{cases}yz=\frac{1}{x}\\\frac{yz}{x}\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}}\)  (2) 

Và:  \(\hept{\begin{cases}zx=\frac{1}{y}\\\frac{zx}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{1}{y^2}\)  (3) 

Từ trên (1)(2)(3): \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\) (Dạng Bunhiacopxki)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Cô si 3 số đó lại đi

\(PT\Leftrightarrow xy^2+yz^2+xz^2=3xyz\ge3\sqrt[3]{xyz^4}\)

Từ đó suy ra: xyz = 1 từ đó suy ra (x,y,z) = (1,1,1);(1,−1,−1);(−1,−1,1);(−1,1,−1)

Câu hỏi của Ngô Hoàng Phúc - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Giả sử \(x\ge y\ge z\) rồi giải