Lời giải:

Ta có:

\(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=(x^3+y^3)+(x^2z+y^2z-xyz)\)

\(=(x+y)(x^2-xy+y^2)+z(x^2+y^2-xy)\)

\(=(x^2-xy+y^2)(x+y+z)=(x^2-xy+y^2).0=0\)

Ta có đpcm.

Đặt \(\left(xy;yz;zx\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)

Ta có : \(abc=xy\cdot yz\cdot zx=x^2y^2z^2\)

Giả thiết tương đương với \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)( cái này bạn tự chứng minh )

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

Đến đây xét 2 trường hợp rồi giải ra là xong.

Đề bài sai, phản ví dụ: \(x=y=\dfrac{1}{16};z=256\)

Nói chung, chỉ cần 2 biến đủ nhỏ là BĐT này đều sai

\(\dfrac{x^3}{2y+1}+\dfrac{2y+1}{9}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3\left(2y+1\right)}{27\left(2y+1\right)}}=x\)

Tương tự: \(\dfrac{y^3}{2z+1}+\dfrac{2z+1}{9}+\dfrac{1}{3}\ge y\) ; \(\dfrac{z^3}{2x+1}+\dfrac{2x+1}{9}+\dfrac{1}{3}\ge z\)

Cộng vế:

\(VT+\dfrac{2\left(x+y+z\right)+3}{9}+1\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y+z\right)-\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{7}{9}.3\sqrt[3]{xyz}-\dfrac{4}{3}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

3x²y²z² = x³y³ y³z³ z³x³ 
(3x²y²z²) / (x³y³ y³z³ z³x³) = 1
3.[(x²y²z²) / (x³y³ y³z³ z³x³)] = 1
(x²y²z²) / (x³y³ y³z³ z³x³) = 1/3
(x²y²z²) / (x³y³) (x²y²z²) / (y³z³) (x²y²z²) / (z³x³) = 1/3
z²/(xy) x/(yz) y²/(zx) = 1/3
Vậy x²/(yz) y²/(xz) z²/(xy) = 1/3

Em thử làm, sai thì thôi nha!

Ta có: \(x^3+y^3+z^3+2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Nesbitt ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^3}+2.\frac{3}{2}\ge3+3=6\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

Vậy.....

Is it right???