Lấy bất kỳ 10 tập hợp con,mỗi tập hợp gồm 8 phần tử từ tập hợp A={1,2,3,...,38}. Cmr: tồn tại 2 tập hợp có số phần tử phần giao không nhỏ hơn 2.

 Một tập hợp  các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt P(n)=n²+n+1. Hãy tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm a để tập hợp  {P(a+1);P(a+2);...;P(a+b)} là tập hương.

cho tập hợp A={1;2;3;...;10}. CMR với mỗi tập hợp con B gồm 5 phần tử của A thì trong các tổng x + y với x, y khác nhau thuộc B luôn tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số hang đơn vị như nhau.

Cho tập hợp A gồm 6 phần tử bất kì từ 0 đến 14. CMR tồn tại 2 tập hợp con B1 và B2 của A sao cho B1=B2

từ tập M chọn một cách bất kì 2^n+1 số. cmr tồn tại 2 số trong tập hợp vừa chọn mà tích của chúng là số chính phương

Cho tập hợp X = {1;2;3;4;…;n^3}. Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n ≥ 2 luôn tồn tại tập con M của tập hợp X sao cho tập con M có n^2 phần tử và không có ba phần tử nào lập thành một cấp số cộng.

Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chứng minh rằng với mỗi tập con B gồm 5 phần tử của tập A thì trong số các tổng x + y với x, y khác nhau thuộc B, luôn tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

Cho a,b \(\in\) N* sao cho a + b là 1 số lẻ. Chia tập hợp các số nguyên dương thành 2 tập rời nhau. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 phần tử x,y cùng thuộc 1 tập sao cho x - y = { a ; b }

Cho S là một tập các số nguyên sao cho :

a) Tồn tại a,b thuộc S với gcd(a,b) = gcd(a-2,b-2) = 1

b) Nếu x,y là hai phần tử của S( có thể bằng nhau ) thì x² - y cũng thuộc S

CMR S là tập tất cả các số nguyên