Thông thường thì ko có cách biến đổi cụ thể, phải tùy thuộc vào hiệu này âm hay dương mới biến đổi được, ví dụ nếu biết \(x_1-x_2\ge0\) thì ta có thể biến nó thành \(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

Ptr có: `\Delta' = b'^2-ac=(-1)^2-(-4)=5 > 0`

 `=>` Ptr có `2` nghiệm pb

`=>` Áp dụng Vi-ét: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2),(x_1.x_2=c/a=-4):}`

Có: `T=x_1(x_1-2x_2)+x_2(x_2-2x_1)`

  `=>T=x_1 ^2 - 2x_1.x_2+x_2 ^2 - 2x_1.x_2`

  `=>T=(x_1+x_2)^2-6x_1.x_2`

  `=>T=2^2-6(-4)=28`

Phương trình x 2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có a = 1 ≠ 0 và

∆ = ( 4 m + 1 ) 2 – 8 ( m – 4 ) = 16 m 2 + 33 > 0 ;   ∀ m

Nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có  x 1 + x 2 = − 4 m − 1 x 1 . x 2 = 2 n − 8

Xét

A = x 1 - x 2 2 = x 1 + x 2 2 - 4 x 1 x 2 = 16 m 2 + 33 ≥ 33

Dấu “=” xảy ra khi m = 0

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: B

\(x_1^2-x_2^2=\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\)

\(=\pm\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\cdot\left(x_1+x_2\right)\)

\(x_1^3-x_2^3\)

\(=\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\)

\(=\pm\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]^3+3\cdot x_1x_2\cdot\pm\left(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right)\)

ĐK: \(2x-4\ge0\Rightarrow x\ge2\)

\(\Rightarrow TXĐ:\)D = [2,+\(\infty\))

+ \(A=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{2x_1-4}-\sqrt{2x_2-4}}{x_1-x_2}\)\(=\frac{2\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right).\left(\sqrt{2x_1-4}+\sqrt{2x_2-4}\right)}\)\(=\frac{2}{\sqrt{2x_1-4}+\sqrt{2x_2-4}}\)

Với x = 2 \(\Rightarrow y\) vô no

Với x > 2 \(\Rightarrow A>0\) \(\Rightarrow\) H/s đồng biến

\(\Delta'=m^2-\left(2m^2-4m+3\right)=-m^2+4m-3\)

\(=-\left(m^2-4m+4-4\right)-3=-\left(m-2\right)^2+1\)

Để pt trên có 2 nghiệm x1 ; x2 khi \(0\le-\left(m-2\right)^2+1\le1\)

Theo Vi et : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m^2-4m+3\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2\)

\(=4m^2+2m^2-4m+3=6m^2-4m+4\)

bạn kiểm tra lại đề xem có vấn đề gì ko ? 

\(\Delta'=m^2-\left(2m^2-4m+3\right)=-m^2+4m-3\ge0\Rightarrow1\le m\le3\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m^2-4m+3\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2\)

\(=\left(2m\right)^2+2m^2-4m+3\)

\(=6m^2-4m+3\)

Xét hàm \(f\left(m\right)=6m^2-4m+3\) trên \(\left[1;3\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{3}< 1;a=6>0\Rightarrow f\left(m\right)\) đồng biến trên \(\left[1;3\right]\)

\(\Rightarrow f\left(m\right)_{max}=f\left(3\right)=45\) khi \(m=3\)

\(\left(m-1\right)x^2-2mx+m-4=0\)

Theo Vi - ét , ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2m}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-4}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(A=3\left(x_1+x_2\right)+2x_1x_2-8\)

\(=3\left(\dfrac{2m}{m-1}\right)+2\left(\dfrac{m-4}{m-1}\right)-8\)

\(=\dfrac{6m}{m-1}+\dfrac{2m-8}{m-1}-8\)

\(=\dfrac{6m+2m-8}{m-1}-8\)

\(=\dfrac{8m-8}{m-1}-8\)

\(=\dfrac{8\left(m-1\right)}{m-1}-8\)

\(=8-8\)

\(=0\)

Vậy biểu thức A không phụ thuộc giá trị m