Tương tự bài 40 trong sách nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 nhé

Bạn có thể xem đáp án tham khảo vì bài này nếu phân tích ra rất là dài

Hoặc bạn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ nha trong sách mình vừa nói cũng có đó .

Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.

1.

Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$. 

Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$

$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$

$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$

$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$

Ta có đpcm.

Bài 2:

Áp dụng kết quả của bài 1:

Mẫu:

$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$

Tử: 

Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$

$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)

Bài 3:

\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)

Do đó:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)

Ta có đpcm.

Sửa đề: Sửa x+y thành x-y đi nhé ở giả thiết âý

Lời giải+làm rõ cái gợi ý

Ta có mệnh đề \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\), áo dụng cái này với \(a=\left(y-z\right)\sqrt[3]{1-x^3};b=\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-y^3};c=\left(x-y\right)\sqrt{1-z^3}\) ta được: 

\(\left(y-z\right)^3\left(1-x^3\right)+\left(z-x\right)^3\left(1-y^3\right)+....=...\) (như trên)

Suy ra \(\left(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3\right)-\left(\left(xy-xz\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3\right)\)

\(=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x+z\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\left(1\right)\)

Ta lại có:\(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(2\right)\)

Và \(\left(xy-zx\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3=3xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(3\right)\)

Thay (2),(3) vào (1) ta có:

\(3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(1-xyz\right)=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)

Vì x,y,z đôi một khác nhau nên 

\(\left(1-xyz\right)=\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)

\(\Leftrightarrow\left(1-xyz\right)^3=\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)

P.s:mệt quá rồi, vừa làm vừa ngáp có gì mai thanh toán

Bạn lập phương 2 vế của phương trình =0 đó rồi nhân tung ra (vất vả) rồi kết hợp với gợi ý của thầy cậu là ok

còn cách nào khác không bạn ?

a, Ta có: \(2\left(x^8+y^8\right)\ge\left(x^3+y^3\right)\left(x^5+y^5\right)\)

\(\Leftrightarrow x^8+y^8\ge x^5y^3+x^3y^5\)

Ta CM: \(\Leftrightarrow x^8+y^8\ge x^5y^3+x^3y^5\)

Áp dụng bđt Cô si:

\(x^8+x^8+x^8+x^8+x^8+y^8+y^8+y^8\ge8x^5y^3\) (*)

Tương tự, \(5y^3+3x^3\ge8x^3y^5\) (**)

Từ (*), (**) \(\Rightarrowđpcm\)

ta có :

\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

(đpcm)