Theo đề bài ta có : 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\\ \)

\(=>2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2.\frac{1}{2}\)

\(=>\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=1\\ =>\frac{2b}{ab}+\frac{2a}{ab}=1\\ =>\frac{2a+2b}{ab}=1\\ =>2a+2b=ab\)

\(=>ab-2a-2b=0\\ =>ab-2a-2b+4=4\\ =>a\left(b-2\right)-2\left(b-2\right)=4\\ =>\left(b-2\right)\left(a-2\right)=4\)

Vậy ( a;b )=(3;6),(6;3),(4;4),(-2;1),(1;-2),(0;0)

Theo bài ra , ta có : 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{b+a}{ab}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow b+a=1\) và \(ab=2\)

\(\Rightarrow a=-1\) và \(b=\frac{2}{3}\)

Ta có : \(A=\frac{2n-1}{n+5}=\frac{2n+10-11}{n+5}=\frac{2\left(n+5\right)}{n+5}-\frac{11}{n+5}=2-\frac{11}{n+5}\)

Để A có giá trị nguyên thì \(2-\frac{11}{n+5}\)có giá trị nguyên

\(\Rightarrow\frac{11}{n+5}\in Z\)

\(\Rightarrow n+5\inƯ\left(11\right)\)

\(\Rightarrow n+5\in\left(\pm1;\pm11\right)\)

Ta xét các trường hợp sau

+) \(n+5=1\Rightarrow n=-4\)(loại)

+) \(n+5=-1\Rightarrow n=-6\)(loại)

+) \(n+5=11\Rightarrow n=6\)(TM)

+) \(n+5=-11\Rightarrow n=-16\)(loại)

Vậy để A nguyên thì n= 6

\(M=\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-a\right)}\)

Đánh giá đại diện: \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}\)

Tương tự: \(\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}\)

                   \(\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}\)

\(\Rightarrow M=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}\)

\(\Rightarrow M=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)

\(\Rightarrow M=2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)=2N\left(đpcm\right)\)

a) \(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{a\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)

\(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}+\frac{\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)

\(M=\frac{2a+\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(1-\sqrt{a}\right)}\)

\(M=\frac{2a+\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}+\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

\(M=\frac{3a+3}{\sqrt{a}}\)

Xét \(M-4=\frac{3a+3}{\sqrt{a}}-4=\frac{3a-4\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}}=\frac{3\left(\sqrt{a}-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{5}{3}}{\sqrt{a}}>0\forall x\in TXĐ\)

Vậy \(M>4.\)

b) \(N=\frac{6}{M}=\frac{6}{\frac{3a+3}{\sqrt{a}}}=\frac{2\sqrt{a}}{a+1}=\frac{2}{\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}}\)

Để N nguyên thì \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương, ta có  \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\Rightarrow\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2\)

 \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2\Leftrightarrow a=1\)   (Vô lý)

Vậy không tồn tại giá trị của a để N nguyên.

chị quản lí làm sai rùi

a: Để M là số nguyên thì căn a+1+5 chia hết cho căn a+1

=>\(\sqrt{a}+1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(a\in\left\{0;16\right\}\)

b: 

Để M là số nguyên thì căn a+1+5 chia hết cho căn a+1

=>\(\sqrt{a}+1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(a\in\left\{0;16\right\}\)