Biết \(m,n\inℕ\)và \(\sqrt{m-174}+\sqrt{m+34}=n\)
Tìm giá trị lớn nhất của \(n\).
Gọi M là giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\) và N là giá trị lớn nhất của \(\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+2}\) biểu thức nào dưới đây đúng?vì sao?
A.M+3N=2 B.M-2N=1 C.2M+N=3 D.2N+M=3
Lời giải:
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=\frac{\sqrt{x}+4-3}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}$
Vì $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+4\geq 4$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+4}\leq \frac{3}{4}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}\geq 1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
Vậy $M=\frac{1}{4}$
------------------
$N=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}$
Do $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+2\geq 2$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}\leq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
Vậy $N=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2M+N =2.\frac{1}{4}+\frac{5}{2}=3$
Đáp án C.
Cho M=\(\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)
tìm x để M đạt giá trị lớn nhất với x thuộc N,x<101
Lời giải:
$\frac{M}{4}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+2}$
$x\in\mathbb{N}; x< 101\Rightarrow x\leq 100$
$\Rightarrow \sqrt{x}\leq 10$
$\Rightarrow \sqrt{x}+2\leq 12$
$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+2}\geq \frac{1}{6}$
$\Rightarrow \frac{M}{4}\leq \frac{5}{6}$
$\Rightarrow M\leq \frac{10}{3}$
Vậy $M_{\max}=\frac{10}{3}$ khi $x=100$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+2bc+2ac=7 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{11a+11b+12c}{\sqrt{8a^2+56}+\sqrt{8b^2+56}+\sqrt{4c^2+7}}\)
a) Biết m đạt giá trị nhỏ nhất khi (a;b;c)=(m;n;p). Tính giá trị của biểu thức P=2p+9n+1945m
b)Biết m đạt gái tị nhỏ nhất thì a=(m/n).c , trong đó m,n là các số nguyên dương và phân số m/n tối giản . Tính giá tị biểu thức S=2m+5n
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=2\sqrt{2\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)
\(=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c;\)\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)
Do vậy \(Q\ge\frac{11a+11b+12c}{3a+2b+2c+2a+3b+2c+\frac{a+b+4c}{2}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)\)
a) \(P=1957\)
b) \(S=19.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của M biết M = \(\frac{4\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}\)
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
a, Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất: M=x-\(\sqrt{x-2010}\)
b,Tìm Giá Trị Lớn Nhất: N=\(\frac{\sqrt{x-25}}{10x}\)
b/ N = \(\frac{\sqrt{x-25}}{10x}\) = \(\frac{1}{10}\sqrt{\frac{x-25}{x^2}}=\frac{1}{10}\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{25}{x^2}}\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a\)thì ta có
10N = \(\sqrt{a-25a^2}\) = \(1\sqrt{\left(-25a^2+\frac{2×5a}{2×5}-\frac{1}{100}\right)+\frac{1}{100}}\)
= \(\sqrt{\frac{1}{100}-\left(5a-\frac{1}{10}\right)^2}\)
Đạt cực đại là \(\frac{1}{10}\)khi a = \(\frac{1}{50}\)hay x = 50
Vậy N đạt GTLN là \(\frac{1}{100}\)khi x = 50. Hết nợ bạn rồi nhé
Máy hết pin rồi. Nên gợi ý nhá. Dùng hằng đẳng thức là ra hết
M= \(3\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+4\right)^2+14\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết x lớn hơn hoặc bằng 4
\(M=3\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+4\right)^2+14\)
\(=3\left(x+2\sqrt{x}+1\right)-\left(x+8\sqrt{x}+16\right)+14\)
\(=3x+6\sqrt{x}+3-x-8\sqrt{x}-16+14\)
\(=2x-2\sqrt{x}+1\)
\(=2\left(x-4\sqrt{x}+4\right)+6\sqrt{x}-7\)
\(=2\left(\sqrt{x}-2\right)^2+6\sqrt{x}-7\ge2.0+6.\sqrt{4}-7=5\)
Dấu "=" \(x=4\)
Vậy GTNN của M là 4 <=> x = 4
\(\left\{{}\begin{matrix}xz=x+4\left(1\right)\\2y^2=7xz-3x-14\\x^2+y^2=35-z^2\left(3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
Nhận thấy \(x=0\) không là nghiệm của (1) .
\(\rightarrow z=\dfrac{x+4}{x}\)(4)
Thế (1) vào (2) .
\(2y^2=7\left(x+4\right)-3x-14=4x+14\leftrightarrow y^2=2x+7\)(\(x\ge-\dfrac{7}{2}\)) (5)
Thế (4)(5) vào (3)
\(x^2+2x+7=35-\left(\dfrac{x+4}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-27x^2+8x+16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-1\right)\left(x^2+7x+4\right)=0\)\(\)
TH1 : \(x-4=0\Leftrightarrow x=4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt{15}\\z=2\end{matrix}\right.\)
TH2 : \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm3\\z=5\end{matrix}\right.\)
TH3 : \(x^2+7x+4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\left(TM\right)\\x=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt[4]{33}\\z=-\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.\)
Cho biểu thức: N=\(\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)với x ≥0; x≠1
a) Rút gọn N
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N
c) Tim x để biểu thức M=\(\dfrac{2\sqrt{x}}{N}\)nhận giá trị nguyên
a: Ta có: \(N=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)
\(=x-\sqrt{x}+1\)
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\). Giá trị của M+m là
A.4 B.2+\(\sqrt{2}\) C.4+\(\sqrt{2}\) D.2
Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn \(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}\)có giá trị là một số nguyên. Gọi d là ước chung lớn nhất của m và n. Chứng minh rằng: \(d\le\sqrt{m+n}\)