Chứng minh bằng biến đổi tương đương : 

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)\left(\frac{b}{1+b^2}-\frac{a}{1+a^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{1+ab}.\frac{\left(a-b\right)\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge0\)

Vì \(a\ge1,b\ge1\) nên \(ab-1\ge0\) . Mặt khác vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\) nên ta có điều phải chứng minh.

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{ab+1}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(ab+1\right)}+\frac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(ab+1\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)}{ab+1}\left(\frac{b}{1+b^2}-\frac{a}{1+a^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{ab+1}.\frac{b+ba^2-a-ab^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{ab+1}.\frac{ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)

Vì \(ab\ge1\) nên BĐT trên luôn đúng.

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh . 

thanks

\(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\)

\(\frac{1+a^2-1-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{1+b^2-1-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)

\(\frac{a^2-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b^2-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)

\(\frac{a^2-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b^2-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)

\(\frac{\left(ab-1\right)\left(b-a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\left(1\right)\)

\(a\ge b\ge1=>ab\ge0\left(2\right)\)

(1)(2)=>đề bài

Bạn cần biết  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  (nếu bạn chưa biết thì xét hiệu) 

Ta có: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\)

\(\ge\frac{4}{1+a^2+1+b^2}\)

\(=\frac{4}{a^2+b^2+2}\)

\(\ge\frac{4}{2ab+2}=\frac{2}{ab+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

\(\Leftrightarrow\left(2+a^2+b^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+2ab+a^2+b^2+ab\left(a^2+b^2\right)\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a\ge1;b\ge1\))

Cách khác:

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left[b\left(1+a^2\right)-a\left(1+b^2\right)\right]}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) (luôn đúng).

\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2+1+a^2+1}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(b^2+1+a^2+1\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(b^2+a^2+2\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2\left(1+ab\right)+a^2\left(1+ab\right)+2\left(1+ab\right)\ge\left(2a^2+2\right)\left(b^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2+ab^3+a^2+a^3b+2+2ab\ge b^2\left(2a^2+2\right)+2a^2+2\)

\(\Leftrightarrow b^2+ab^3+a^2+a^3b+a^3b+2+2ab\ge2a^2b^2+2b^2+2a^2+2\)

\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b+2+2ab\ge2a^2b^2+a^2+b^2+2\)

\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b+2ab\ge2a^2b^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)+2ab\ge2a^2b^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)-\left(a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(ab-1\right)\ge2ab\left(ab-1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đpcm )