Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh biểu thức \(Q=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Giải phương trình sau: \(\left|x+1\right|+\left|x-1\right|=1+\left|x^2-1\right|\)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)

Các số a,b không âm thỏa mãn \(a^2-2ab+a-2b\le0\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=a^2+5b^2+3a\)

Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho \(AM=\frac{1}{3}AB\), N là trung điểm cạnh CD, G là trọng tâm tam giác BMN, I là giao điểm của AG và BC.

a) Đặt AB=a, gọi P là giao điểm của AI với CD. Tính CD theo a.

b) Tính giá trị tỉ số \(\frac{GA}{GI}\)

Cho tam giác ABC vuông cân ở A, AB = AC = a. Trung tuyến AD, M chuyển động trên đoạn thẳng AD. Gọi N, P là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC. H là hình chiếu của N trên PD.

1) Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng.

2) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác AHB lớn nhất.

3) Khi M chuyển động trên đoạn thẳng AD. Chứng tỏ HN luôn đi qua một điểm cố định.

Cho tam giác ABD vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A lấy điểm C bất kì sao cho tam giác BCD vuông tại C. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định.

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó vẽ đường trung trực d của AB. Điểm P di động trên d. Trên đoạn thẳng PC lấy điểm I sao cho \(\widehat{CAI}=\widehat{CPB}\) . Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với PC cắt d tại Q. Chứng minh rằng P di động trên d thì QI luôn đi qua một điểm cố định.