đặt cái đề =A

Ta có A=\(\frac{a^2}{ac+2a^2}+\frac{b^2}{ab+2b^2}+\frac{c^2}{bc+2c^2}\) 

áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có A>=\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}\) =\(\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\) =\(\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (1)

áp dụng cô- si ta có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)>=\left(a+b+c\right)^2\) (2)

từ 1,2 suy ra đpcm( cậu tưj làm tiếp được chứ), GIÚP MÌNH CÂU MÌNH CHƯA LÀM ĐƯỢC VỚI

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{c}{c+2a}+\frac{b}{a+2b}+\frac{a}{b+2c}\ge1\)

Chỗ đoạn đầu dùng Svacxo ngược dấu rồi

Từ \(ab+bc+ca=5abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=5\)

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+a+b+b+c\right)\ge\left(1+1+1+1+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{25}{2a+2b+c}\)

Tương tự ta có :

\(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{25}{2b+2c+a}\)

\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{25}{2a+b+2c}\)

Cộng từng vế BĐT ta thu được :

\(\frac{5}{a}+\frac{5}{b}+\frac{5}{c}\ge25P\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{25}=1\)

Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{5}\)

Áp dụng BĐT: \(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Ta có: \(\frac{ab}{a+b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)(1). Tương tự ta có:

\(\frac{bc}{b+c+2a}\le\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\right)\text{ (2)};\frac{ca}{c+a+2b}\le\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\text{ (3)}\)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có: 

\(\frac{ab}{a+b+2}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}.4=1\)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c = \(\frac{4}{3}\)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của khoimzx - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(\frac{a}{b+2c}+\frac{a}{b+2a}\ge\frac{4a}{2a+2b+2c}=\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{c+2a}+\frac{b}{c+2b}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\frac{c}{a+2b}+\frac{c}{a+2c}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế:

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.VT+\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{c+2b}+\frac{c}{a+2c}\ge2\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{2a}{b+2a}+\frac{2b}{c+2b}+\frac{2c}{a+2c}\ge4\)

\(\Leftrightarrow VT+\left(1-\frac{b}{b+2a}\right)+\left(1-\frac{c}{c+2b}\right)+\left(1-\frac{a}{a+2c}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow VT\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)