a) Xét tứ giác AOMC có

\(\widehat{CAO}\) và \(\widehat{CMO}\) là hai góc đối

\(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AOMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Ta có: AOMC là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{MAO}=\widehat{OCM}\)(hai góc cùng nhìn cạnh OM)

hay \(\widehat{MAB}=\widehat{OCD}\)

Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(Gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(Gt)

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù) 

mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)

và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{MOD}\)(cmt)

nên \(2\cdot\widehat{COM}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{MOD}=90^0\)

mà \(\widehat{COM}+\widehat{MOD}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC,OD)

nên \(\widehat{COD}=90^0\)

Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)

nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp đường tròn(M,A,B∈(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔMAB vuông tại M(Định lí)

Xét ΔAMB vuông tại M và ΔCOD vuông tại O có

\(\widehat{MAB}=\widehat{OCD}\)(cmt)

Do đó: ΔAMB∼ΔCOD(g-g)

⇔\(\dfrac{AM}{CO}=\dfrac{BM}{DO}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AM\cdot OD=BM\cdot OC\)(đpcm)

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF

a: góc CAO+góc CMO=180 độ

=>CAOM nội tiếp

góc DMO+góc DBO=180 độ

=>DMOB nội tiếp

b: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

=>CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc DOC=1/2*180=90 độ

Xét ΔDOC vuông tại O có OM là đường cao

nên CM*MD=OM^2

=>AC*BD=R^2

Chọn B

1: Xét (O) có

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{MOA}\)

Xét (O) có 

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Ta có: \(\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}\)

\(=\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)\cdot\dfrac{1}{2}\)

\(=180^0\cdot\dfrac{1}{2}=90^0\)

hay ΔCOD vuông tại O 

Xét (O) có

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: CM=CA

Xét (O) có

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: DB=DM

\(AC\cdot BD=CM\cdot MD=OM^2\) không phụ thuộc vào vị trí của M

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

Làm cho mik ý b và c

a: Xét tứ giác CAOM có

góc CAO+góc CMO=180 độ

nên CAOM là tứ giác nội tiêp

b: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) co

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: AC*BD=CM*MD=R^2

d: Gọi N là trung điểm của CD

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên ON là đường trung bình

=>ON vuông góc với AB

=>AB là tiếp tuyến của (N)