\(\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)\le\left(\frac{4a+4b}{2}\right)^2=\left(2a+2b\right)^2\)

=>\(\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\frac{1}{2}\left(2a+2b\right)=a+b\)

Mình làm phần dễ nhất rồi, còn lại của bạn đó ^^

Đặt . Do đó . Cần chứng minh:

Or 

Bình phương 2 vế và xét hiệu, ta cần chứng minh:

Đó là điều hiển nhiên vì: 

Done.

eos bieets

d) Ta có: \(n^2+5n+9⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n^2+3n+2n+6+3⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)+3⋮n+3\)

mà \(n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)⋮n+3\)

nên \(3⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n+3\inƯ\left(3\right)\)

\(\Leftrightarrow n+3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{-2;-4;0;-6\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{-2;-4;0;-6\right\}\)

d) Ta có: n2+5n+9⋮n+3n2+5n+9⋮n+3

⇔n2+3n+2n+6+3⋮n+3⇔n2+3n+2n+6+3⋮n+3

⇔n(n+3)+2(n+3)+3⋮n+3⇔n(n+3)+2(n+3)+3⋮n+3

mà n(n+3)+2(n+3)⋮n+3n(n+3)+2(n+3)⋮n+3

nên 3⋮n+33⋮n+3

⇔n+3∈Ư(3)⇔n+3∈Ư(3)

`b)` - Ta thấy : `|x+1|+|x-2|+|x+7|>=0`

`-> 5x-10>=0`

`-> 5x>=10`

`-> x>=2`

`-> |x+1|=x+1;|x-2|=x-2;|x+7|=x+7`

- Vậy ta có :

`(x+1)+(x-2)+(x+7)=5x-10`

`<=> x+1+x-2+x+7=5x-10`

`<=> 3x+6=5x-10`

`<=> 3x-5x=-10-6`

`<=> -2x=-16`

`<=> x=8`

Từ gt \(\Rightarrow ab-ac-bc+c^2=c^2\)

        \(\Leftrightarrow ab=ac+bc\)

       \(\Leftrightarrow ab=c\left(a+b\right)\)

       \(\Leftrightarrow abc=c^2\left(a+b\right)\)

Bây giờ chỉ cần chứng minh ( a + b ) là số chính phương nx là xog !

Gọi \(ƯCLN\left(a-c;b-c\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}\Rightarrow}\left(a-c\right)-\left(b-c\right)⋮d\)

                            \(\Rightarrow a-b⋮d\)

Mà \(\left(a;b\right)=1\)

\(\Rightarrow d=1\)

Hay \(\left(a-c;b-c\right)=1\)

Mà \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)là số chính phường

Nên a - c và b - c đều là số chính phương

Đặt \(\hept{\begin{cases}a-c=x^2\\b-c=y^2\end{cases}\left(x;y\inℕ\right)}\)

\(\Rightarrow x^2.y^2=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2=c^2\)

\(\Leftrightarrow xy=c\)( Do xy và c đều dương )

Ta có : \(\left(a-c\right)+\left(b-c\right)=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow a+b-2c=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow a+b=x^2+2c+y^2\)

\(\Leftrightarrow a+b=x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow a+b=\left(x+y\right)^2\)là số chính phương

Do đó : \(abc=c^2.\left(x+y\right)^2=\left(cx+cy\right)^2\)là số chính phương

Vậy .................

bài 2 bn nên cộng 3 cái lại

mà năm nay bn lên đại học r đúng k ???

thử bài bất :D 

Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)

Hoàn toàn tương tự: 

\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)

\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)

Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:

\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)

Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )

Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D 

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq \frac{(a+b+c)^6}{27}$

Áp dụng BĐT Cô-si: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq \frac{(a+b+c)^6}{27}\geq \frac{(a+b+c).3^5}{27}=9(a+b+c)$
Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$