a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

b ) Làm tương tự như a )

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)

cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)

b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)

CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)

a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .

-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)

- Cộng 2 bpt lại ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)

- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)

=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)

b, CMTT câu 1 .

- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

- Nhân 3 bpt trên lại ta được :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)

3 số thực dương nhé.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel có :

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+2bc}=\frac{1}{b^2+2ca}=\frac{1}{c^2+2ab}\)và \(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)

Mong có ai giúp mình từ đẳng thức trên giải ra a=b=c.

a=b=c ket hop voi a+b+c=<1 =>a=b=c=1/3 nhe

\(a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+2bc=b^2+2ca\\b^2+2ca=c^2+2ab\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(a+b\right)-2c\left(a-b\right)=0\\\left(b-c\right)\left(b+c\right)-2a\left(b-c\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(a+b-2c\right)=0\\\left(b-c\right)\left(b+c-2a\right)=0\end{cases}}\)

Tới đây thì suy được ra là \(a=b=c\) rồi nhé Trần Thùy Dung - Trang của Trần Thùy Dung - Học toán với OnlineMath

Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)² ≥ 0 ∀xy

⇒ x² + y² ≥ 2xy

⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2

⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2

⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)

CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2

⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)

Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))

Đẳng thức xảy ra khi : x = y

Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )

Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a² + b² ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )

Từ ( * ; *** ) ⇒ a² + b² + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )

Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)

Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a² + b² + ab ≥ 6( a + b)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4

Thành Trương: bạn có thể gõ cụ thể công thức ra được không?