Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có:
\({x^2\over y^2} + {y^2\over x^2} + 4 ≥ 3({x\over y} + {y\over x})\)
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có:
\(xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\)
Bài 3: Cho x,y,z thuộc R. Chứng minh rằng:
\(1019x^2+18y^4+1007z^2\geq 30xy^2+6y^2z+2008zx\)
Bài 4: Cho a,b>=4. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+ab>=6(a+b)\)
Bài 5:Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \(x\sqrt {y-1}+y \sqrt {x-1} \leq xy\)
Bài 6: Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \({1\over 1+x^2}+{1\over 1+y^2}\geq {2\over 1+xy}\)
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta có:
\(2(a^4+b^4)\geq ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
Bài 8: Cho hai số thực x,y khác không. Chứng minh rằng:
\({4x^2y^2\over (x^2+y^2)^2}+{x^2\over y^2}+{y^2\over x^2}\geq 3\)
Bài 9: Cho các số thực a,b cùng dấu. Chứng minh bất đẳng thức:
\(({(a^2+b^2)\over 2})^3\leq({(a^3+b^3)\over 2})^2\)
Bài 10: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
\({a^2b\over(2a^3+b^3)}+{2\over 3} \leq {(a^2+2ab)\over (2a^2+b^2)}\)
Bài 11: Cho các số thực a,b không đồng thời bằng 0. Chứng minh:
\({2ab\over (a^2+4b^2)}+{b^2\over (3a^2+2b^2)}\leq {3\over 5}\)
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
Bài 2:
Ta có:
\(A=xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36\)
\(A=xy(xy+6x-2y-12)+12x^2-24x+3y^2+18y+36\)
\(A=(x^2y^2+9x^2+y^2+6x^2y-2xy^2-6xy)+3x^2+2y^2-6xy-24x+18y+36\)
\(A=(xy+3x-y)^2-6(xy+3x-y)+9+3x^2+2y^2-6x+12y+27\)
\(=(xy+3x-y-3)^2+3(x^2-2x+1)+2(y^2+6y+9)+6\)
\(=(xy+3x-y-3)^2+3(x-1)^2+2(y+3)^2+6\)
\(\Rightarrow A\geq 6>0\) với mọi \(x,y\in\mathbb{R}\)
Bài 3:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(15x^2+15y^4\geq 2\sqrt{15x^2.15y^4}=30\sqrt{x^2y^4}=30|xy^2|\geq 30xy^2\)
\(3y^4+3z^2\geq 2\sqrt{3y^4.3z^2}=6\sqrt{z^2y^4}=6|zy^2|\geq 6zy^2\)
\(1004x^2+1004z^2\geq 2\sqrt{1004^2x^2z^2}=1008\sqrt{x^2z^2}=1008|xz|\geq 1008xz\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 1019x^2+18y^4+1007z^2\geq 30xy^2+6y^2z+1008xz\)
Ta có đpcm.
Bài 4:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow a^2+b^2+ab\geq 3ab(*)\)
Vì \(a,b\geq 4\Rightarrow (a-4)(b-4)\geq 0\Rightarrow ab+16\geq 4(a+b)(1)\)
Mà \(a,b\geq 4\Rightarrow ab\geq 16(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2ab\geq ab+16\geq 4(a+b)\Rightarrow ab\geq 2(a+b)(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow a^2+b^2+ab\geq 3ab\geq 6(a+b)\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=4$
Bài 5:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)
\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left(\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)
Do đó:
\((x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2\leq (xy)^2\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy\)
Ta có đpcm.
Bài 6:
Bài này khá quen thuộc. Cách đơn giản nhất là biến đổi tương đương.
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge \frac{2}{xy+1}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2+2}{(x^2+1)(y^2+1)}\geq \frac{2}{xy+1}\)
\(\Leftrightarrow (xy+1)(x^2+y^2+2)\geq 2(x^2y^2+x^2+y^2+1)\)
\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2+2)\geq 2x^2y^2+x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)+2xy-x^2-y^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow xy(x-y)^2-(x-y)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2(xy-1)\geq 0\)
(luôn đúng với \(x,y\geq 1\))
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
Bài 7:
Ta có: \(2(a^4+b^4)\geq ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow (a^4+b^4-a^3b-ab^3)+(a^4+b^4-2a^2b^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow [a^3(a-b)-b^3(a-b)]+(a^2-b^2)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a-b)+(a-b)^2(a+b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2[a^2+ab+b^2+(a+b)^2]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2[(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}+(a+b)^2]\geq 0\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy khi \(a=b\)
Bài 8:
\(\text{VT}=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2}-2\)
\(=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4xy}+\frac{3(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}-2\)
Áp dụng BĐT Am_Gm:
\(\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq 2\)
\(x^2+y^2\geq 2|xy|\Rightarrow x^2+y^2\geq \pm 2xy\Rightarrow (x^2+y^2)^2\geq 4x^2y^2\)
\(\Rightarrow \frac{3(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq \frac{3(2xy)^2}{4x^2y^2}=3\)
Do đó: \(\text{VT}\geq 2+3-2=3\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\)
Bài 9:
Ta có: \(\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^3\leq \left(\frac{a^3+b^3}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^3\leq 2(a^3+b^3)^2\)
\(\Leftrightarrow a^6+b^6+3a^2b^2(a^2+b^2)\leq 2(a^6+b^6+2a^3b^3)\)
\(\Leftrightarrow 3a^2b^2(a^2+b^2)\leq a^6+b^6+4a^3b^3\)
\(\Leftrightarrow a^6+b^6-a^4b^2-a^2b^4+4a^3b^3-2a^2b^2(a^2+b^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^4(a^2-b^2)-b^4(a^2-b^2)-2a^2b^2(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a^4-b^4)(a^2-b^2)-2a^2b^2(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2)(a+b)^2-2a^2b^2(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2[(a^2+b^2)(a+b)^2-2a^2b^2]\geq 0(*)\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2[(a^2+b^2)^2+2ab(a^2+b^2)-2a^2b^2]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2[a^4+b^4+2ab(a^2+b^2)]\geq 0\)
Hiển nhiên đúng do biểu thức trong ngoặc vuông luôn không âm với $ab\geq 0$ do $a,b$ cùng dấu.
Ta có đpcm.
Bài 10: BĐT với $a=5,b=2$
Bài 11:
\(\text{VT}=\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{b^2}{3a^2+2b^2}=\frac{2}{\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}}+\frac{1}{3(\frac{a}{b})^2+2}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=t\Rightarrow \text{VT}=\frac{2}{t+\frac{4}{t}}+\frac{1}{3t^2+2}=\frac{2t}{t^2+4}+\frac{1}{3t^2+2}\)
Ta có:
\(\text{VT}\leq \frac{3}{5}\Leftrightarrow \frac{2t}{t^2+4}+\frac{1}{3t^2+2}\leq \frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow \frac{6t^3+4t+t^2+4}{3t^4+14t^2+8}\leq \frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow 30t^3+20t+5t^2+20\leq 9t^4+42t^2+24\)
\(\Leftrightarrow (t-1)^2(3t-2)^2\geq 0\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b$ hoặc \(3a=2b\)
