a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w \) là: \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w  = \left( { - 2 + 0 + \left( { - 2} \right);0 + 6 + 3} \right) = \left( { - 4;9} \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow w  + \overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow w  = \overrightarrow v  - \overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow w  = \left( {0 - \sqrt 3 ; - \sqrt 7  - 0} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 7 } \right)\)

CHọn A

\(u.v=0\Leftrightarrow\left(2a+3b\right)\left(-15a+14b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-30a^2+42b^2-17ab=0\)

\(\Leftrightarrow ab=\frac{-30.4^2+42.3^2}{17}=-6\)

\(\Rightarrow cos\left(a;b\right)=\frac{ab}{\left|a\right|\left|b\right|}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}\Rightarrow\left(a;b\right)=120^0\)

a) \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=2\left(3;-4\right)+3\left(2;5\right)=\left(6;-8\right)+\left(6;15\right)\)\(=\left(12;7\right)\).
b) \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(3;-4\right)-\left(2;5\right)=\left(1;-9\right)\).
c) Hai véc tơ \(\overrightarrow{c}=\left(m;10\right)\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương khi và chỉ khi:
\(\dfrac{m}{2}=\dfrac{10}{5}=2\Rightarrow m=4\).

Lời giải:

a)

\(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(1-2, 2-2,3-(-1))=(-1,0,4)\)

b)

\(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{w}=(1-2+2.4,2-2+2.0; 3-(-1)+2(-4))\)

\(=(7, 0, -4)\)

c)

\(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}=(2.1+4.2-4, 2.2+4.2-0, 2.3+4.(-1)-(-4))\)

\(=(6,12,6)\)

d)

\(2\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}=3(1,2,3)+(4,0,-4)=(3.1+4, 3.2+0,3.3+(-4))\)

\(=(7,6,5)\Rightarrow \overrightarrow{x}=(\frac{7}{2}, 3, \frac{5}{2})\)

e)

\(3\overrightarrow{x}=-2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=-2(1,2,3)-(2,2,-1)+(4,0,-4)\)

\(=(-2,-4,-6)-(2,2,-1)+(4,0,-4)=(-2-2+4,-4-2+0,-6-(-1)+(-4))\)

\(=(0,-6,-9)\Rightarrow \overrightarrow{x}=(0,-2,-3)\)

Tham khảo:

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OM} \) hay \(\overrightarrow v  + \overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \)

Và \(\overrightarrow {OC}  = 3.\overrightarrow {OM}  \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3.\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {OA}  = 3.\overrightarrow {OF}  = 3\;\overrightarrow u ;\;\overrightarrow {OB}  = 3.\overrightarrow {OE}  = 3\;\overrightarrow v \)

Và \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OC} \) hay \(3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u  = \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u \)

cái này là j z

1.

\(cos\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\dfrac{10}{10.\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)=45^0\)

2.

a. 

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) (1)

Mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=1\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\)

b.

Từ (1) \(\Rightarrow BC\perp AM\)

Mà \(AM\perp SB\left(gt\right)\) \(\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\) (2)

\(\Rightarrow AM\perp MN\Rightarrow\Delta AMN\) vuông tại M

Từ (2) \(\Rightarrow AM\perp SC\), mà \(SC\perp AN\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow SC\perp\left(AMN\right)\) (3)

Lại có \(SA\perp\left(ABC\right)\) theo giả thiết

\(\Rightarrow\) Góc giữa (AMN) và (ABC) bằng góc giữa SA và SC hay là góc \(\widehat{ASC}\)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{ASC}=\dfrac{AC}{SA}=\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{ASC}\approx54^044'\)

Từ (3) \(\Rightarrow AN\) là hình chiếu vuông góc của AC lên (AMN)

\(\Rightarrow\widehat{CAN}\) là góc giữa AC và (AMN)

Mà \(\widehat{CAN}=\widehat{ASC}\) (cùng phụ \(\widehat{ACS}\)) \(\Rightarrow\widehat{CAN}=...\)

c.

\(\left\{{}\begin{matrix}IC=\dfrac{1}{2}AC\left(gt\right)\\AI\cap\left(SBC\right)=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Mà từ (2) ta có \(AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(SA=AB\left(gt\right)\Rightarrow\Delta SAB\) vuông cân tại A 

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

Hình vẽ bài 2:

3.

a.

Do \(SA=SB=SC=SD\Rightarrow\) hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng tâm O của hình vuông

Hay \(SO\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow SO\perp BD\)

Lại có \(AC\perp BD\) (hai đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp SC\)

Mà MN là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow MN||BD\)

\(\Rightarrow MN\perp SC\Rightarrow\left(\widehat{MN;SC}\right)=90^0\)

b.

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\sqrt{2}\)

\(SA=SC=2a\Rightarrow SA^2+SC^2=8a^2=AC^2\)

\(\Rightarrow\Delta SAC\) vuông tại S (pitago đảo)

\(\Rightarrow SA\perp SC\)

c.

\(AB||CD\Rightarrow AB||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}AC=2OC\\AO\cap\left(SCD\right)=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)

Từ O kẻ \(OE\perp CD\), từ \(O\) kẻ \(OF\perp SE\)

\(\Rightarrow OF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow OF=d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)

\(OE=\dfrac{1}{2}BC=a\) (đường trung bình)

\(\Delta SAC\) vuông tại S (theo cm câu b) \(\Rightarrow SO=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Hệ thức lượng:

\(OF=\dfrac{SO.OE}{\sqrt{SO^2+OE^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2OF=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}\)

\(\left(a+2b\right)^2=28\Leftrightarrow a^2+4b^2+4ab=28\)

\(\Rightarrow ab=\frac{28-4^2-4.3^2}{4}=-6\)

\(\Rightarrow cos\left(a;b\right)=-\frac{6}{4.3}=-\frac{1}{2}\Rightarrow\left(a;b\right)=120^0\)