Áp dụng định lí viet: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right)=a\left[\left(x^2-x_1.x\right)-\left(x_2x-x_1x_2\right)\right]\)

=\(a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)

a) Xét phương trình thứ nhất, có \(\Delta_1=b^2-4ac\)

Xét phương trình thứ hai, có \(\Delta_2=b^2-4ca=b^2-4ac\)

Từ đó ta có \(\Delta_1=\Delta_2\), do đó, khi phương trình (1) có nghiệm \(\left(\Delta_1\ge0\right)\)thì \(\Delta_2\ge0\)dẫn đến phương trình (2) cũng có nghiệm và ngược lại.

Vậy 2 phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.

b) Vì \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(x_1x_2=\frac{c}{a}\)

Tương tự, ta có \(x_1'x_2'=\frac{a}{c}\)

Từ đó \(x_1x_2+x_1'x_2'=\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)

Nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c>0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c< 0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}>0\\\frac{a}{c}>0\end{cases}}\), khi đó có thể áp dụng bất đẳ thức Cô-si cho 2 số dương \(\frac{c}{a}\)và \(\frac{a}{c}\):

\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}=2\), dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'\ge2\)

Nhưng nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c< 0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c>0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}< 0\\\frac{a}{c}< 0\end{cases}}\),như vậy \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 0< 2\)dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'< 2\)

Như vậy không phải trong mọi trường hợp thì \(x_1x_2+x_1'x_2'>2\)

`a) 7x^2 - 2x + 3 = 0`

`(a = 7; b = -2; c = 3)`

`Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.7.3 = -80 < 0`

`=>` phương trình vô nghiệm

`b) 6x^2 + x + 5 = 0`

`(a = 6;b = 1;c = 5)`

`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.5 = -119 < 0`

`=>` phương trình vô nghiệm

`c) 6x^2 + x - 5 = 0`

`(a = 6;b=1;c=-5)`

`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.(-5) = 121 > 0`

`=>` phương trình có 2 nghiệm phân biệt

`x_1 = (-b + sqrt{Δ})/(2a) = (-1+ sqrt{121})/(2.6) = (-1+11)/12 = 10/12 = 5/6`

`x_2 = (-b - sqrt{Δ})/(2a) = (-1- sqrt{121})/(2.6) = (-1-11)/12 = -12/12 = -1`

Vậy phương trình có 1 nghiệm `x_1 = 5/6; x_2 = -1`

ủa, mấy bài đó tương tự như ct mà:

\(7x^2-2x+3=0\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=-2\\c=3\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4.7.3=-80\)

Vì \(\Delta< 0\) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm

a)

`7x^2 -2x+3=0`

có \(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot3=-80< 0\)

=> phương trình vô nghiệm

b)

`6x^2 +x+5=0`

có \(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot6\cdot5=-119< 0\)

=> phương trình vô nghiệm

c)

`6x^2 +x-5=0`

có \(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot6\cdot\left(-5\right)=121>0\)

\(=>x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{121}}{2\cdot6}=\dfrac{5}{6}\)

\(=>x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{121}}{2\cdot6}=-1\)

Mình chưa học cách chứng minh mệnh đề nhưng mk chứng minh được hệ thức Vi-et:

\(ax^2+bx+c=0\)

\(\Delta=b^2-4ac\)

để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow b^2-4ac\ge0\)

phương trình có 2 nghiệm là

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Ta có

\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

               \(=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\(x_1.x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

          \(=\frac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right).\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)}{2a.2a}\)

           \(=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}\)

              \(=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}\)

               \(=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
y1+y2= 3x1+3x2=3(x1+x2)
=\(\dfrac{-3b}{a}\)
y1y2=\(\dfrac{9c}{a}\)
Ta có pt x^2 +\(\dfrac{3b}{a}x+\dfrac{9c}{a}=0\)

\(\Delta=m^2+12>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Khi \(n=0\) thì pt có nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1^2-x_2^2=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=3\end{matrix}\right.\)

Thế vào hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}4+3=-m\\4.3=n-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-7\\n=15\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức viet thì đáp án là câu d(đk là a khác 0)

chọn câu d)