Ta có:(a-b)-(b+c)-(c-a)-(a-b-c)

         =a-b-b-c-c+a-a+b+c

         =(a+a-a)-(b+b-b)-(c+c-c)

         =a-b-c(đpcm)

Ta có: \(\left(a-b\right)-\left(b+c\right)-\left(c-a\right)-\left(a-b-c\right)=a-b-c\)

\(\Leftrightarrow a-b-b-c-c+a-\left(a-b-c\right)=a-b-c\)

\(\Leftrightarrow2a-2b-2c-\left(a-b-c\right)=a-b-c\)

\(\Leftrightarrow a-b-c=a-b-c\left(đpcm\right)\)

hok tốt!!

Yêu cầu đề bài là gì vậy bạn?

Dấu bằng xảy ra khi đẳng thức VT = VP biện luận để tìm ra bài này chắc là tam giác đều

Lời giải:

Ta sử dụng BĐT phụ sau (BĐT Bunhiacopxky):

$(x^2+y^2)(z^2+t^2)\geq (xz+yt)^2$. 

Chứng minh BĐT này đơn giản. Bạn biến đổi tương đương thì BĐT còn lại $(xt-yz)^2\geq 0$ (luôn đúng)

---------------------------------

Áp dụng BĐT trên vào bài toán:

Với $x=\sqrt{\frac{1}{a+b-c}}; y=\sqrt{\frac{1}{b+c-a}}; z=\sqrt{a+b-c}; t=\sqrt{b+c-a}$, ta có:

$\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)[(a+b-c)+(b+c-a)]\geq (1+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}(1)$.

Tương tự:

$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{a}(2)$

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{c}(3)$

Lấy $(1)+(2)+(3)$ theo vế và thu gọn ta có đpcm.

Trong bài BĐT, người ta thường yêu cầu CM $A\geq B, A\leq B$.

Đi tìm "Dấu = xảy ra" nghĩa là đi xác định giá trị của $a,b,c$ để $A=B$ thôi, chứ không phải $A>B$ hay $A<B$

Ví dụ trong bài này, dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

-----------------------------------------------

Ví dụ đơn giản hơn là cho $a,b$ dương thỏa mãn $a+b=2$. CMR $a^2+b^2\geq 2$.

Đi tìm dấu "=" xảy ra là ta đi tìm giá trị của $a,b$ mà $a^2+b^2=2$.

Đương nhiên, $a,b$ vẫn phải thỏa mãn điều kiện đề (>0; tổng bằng 2) 

Từ những điều kiện trên ta suy ra $a=b=1$ chính là điểm mà dấu "=" xảy ra.

\(\dfrac{1}{c}+b^2c=ab\left(a+b+c\right)+b^2c=ab\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)=b\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(\dfrac{1}{c}+a^2c=ab\left(a+b+c\right)+a^2c=a\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{c}+b^2c\right)\left(\dfrac{1}{c}+a^2c\right)=ab\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)=c^2\left(a+b\right)^2ab\left(ab+bc+ac+c^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left[a^2b^2+abc\left(a+b+c\right)\right]=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2\left(a^2b^2+1\right)}=\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b\) (đpcm)

a) ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)

= ab[(a - b) + (b - c)] + (bc - ab)(b - c) + ca(c - a)

= ab(a - c) + b(c - a)(b - c) + ca(c - a)

= a(b - c)(a - c) - b(a - c)(b - c)

= (a - b)(b - c)(a - c)

b) Ta có:

a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)

= a(b² - a²) + (b - a)(c² - a²) + c(a² - b²)

= (a - b)(a + b)(c - a) - (a - b)(c - a)(c + a)

= (a - b)(b - c)(c - a)

c) a(b³ - c³) + b(c³ - a³) + c(a³ - b³)

= a(b³ - a³) + (b - a)(c³ - a³) + c(a³ - b³)

= (a³ - b³)(c - a) - (a - b)(c - a)(c² + ca + a²)

= (a - b)(c - a)(ab + b² - c² - ca)

= (a - b)(c - a)(b - c)(a + b + c)

(a+b+c+d)(a+d-b-c)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)

=>(a+d)^2-(b+c)^2=(a-d)^2-(b-c)^2

=>(a+d)^2-(a-d)^2=(b+c)^2-(b-c)^2

=>(a+d-a+d)(a+d+a-d)=(b+c+b-c)(b+c-b+c)

=>4ad=4bc

=>ad=bc

=>a/c=b/d