a p dg côsi \(a\sqrt{b-1}=a.1.\sqrt{b-1}\le a.\dfrac{1+b-1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

ttuong tu \(b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ab}{2}\)

nên vt\(\le ab\)

dau = xảy ra a=b=2

Ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{\left(b-1\right).1}\le\frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\)  \(a\sqrt{b-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta cũng có:  \(b\sqrt{a-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(2\right)\)

Cộng hai bđt trên, suy ra đpcm

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)})^2\leq [c+(b-c)][(a-c)+c]=ab$

$\Rightarrow \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2c$

Bài 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ab-b})^2\)

\(\leq (a+b)(ab-a+ab-b)=(a+b)(2ab-a-b)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a+b)(2ab-a-b)\leq \left(\frac{a+b+2ab-a-b}{2}\right)^2=(ab)^2$

Do đó:

$(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2\leq (ab)^2$

$\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$

Lời giải:

Ta có:

\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left[\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right]^2\)

Đặt $a+1=t(t\neq 0)$ thì:

$A=t^2+(\frac{t^2+1}{t})^2=t^2+(t+\frac{1}{t})^2$

$=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\geq 2\sqrt{2t^2.\frac{1}{t^2}}+2=2\sqrt{2}+2$ theo BĐT AM-GM

Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$

Giá trị này đạt được khi $t=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}$

$\Leftrightarrow a=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}-1$

Bài 1:  (không dùng Cô-si) Bình phương hai vế, ta được:

\(c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)

\(ac-2c^2+bc+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)

\(0\le\left(ab-ac-bc+c^2\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)

\(0\le\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)

\(0\le\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-c\right)^2\)(đúng)

Vậy BĐT đúng.  Xảy ra khi  \(a=b=2c\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm \(a-1,b-1\)(\(\left(a.b\ge1\right)\):

\(\left(a-1\right)+1\ge2\sqrt{a-1}\Rightarrow\sqrt{a-1}\le\frac{a}{2}\)\(\Leftrightarrow b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=2\)

\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\Leftrightarrow\sqrt{a}\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}\sqrt{ab-b}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(2ab-a-b\right)}\le\frac{a+b-a-b+2ab}{2}=ab\)

BĐT đc chứng minh

\(x=\sqrt{a-1};y=\sqrt{b-1}\) bỏ căn đi viết cho dẽ nhìn

\(x^2=a-1;y^2=b-1\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)y+\left(y^2+1\right)x\le\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-2y+1\right)+\left(y^2+1\right)\left(x^2-2x+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y-1\right)^2+\left(y^2+1\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)Đúng với mọi x,y => dpcm

Đẳng thức khi x=y=1=> a=b=2

@ tn . Đẳng thức xẩy ra khi nào?

Đặt T là vế trái, áp dụng AM-GM, ta có:

\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{1\left(b-1\right)}\le\dfrac{a.\left(1+b-1\right)}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

Tương tự: \(b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ba}{2}\)

Cộng vế theo vế 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:

\(T\ge\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ba}{2}=ab\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=1

\(VT\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}+\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\) ( Cosi ngược dấu ) 

:))