Cho a,b,c>0 .CMR: (1/a+2b+c) +(1/b+2c+a)+(1/c+2a+b)<=1/2(1/...
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 8 2021 lúc 19:51
a,b,c>0.CMR a^2/(2a+b)(2a+c)+b^2/(2b+c)(2b+a)+c^2/(2c+a)(2c+b) >1/3
Cho 0<a,b,c<1.CMR:
2a^3+2b^3+2c^3<3+a^2b+b^2c+c^2a
cho a,b,c>0/ a=2b/(1+b); b=2c/(1+c); c=2a/(1+a).CMR: a=b=c=1
Cho a,b,c,d >0, a + b + c + d=4.cmr: a/(1 + b^2c) + b/(1 + c^2d) + c/(1 + d^2a) + d/(1 + a^2b) >=2
cho a.b.c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác . CMR
\(a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+c^2b+b^2a-a^3-b^3-c^3>0\)
Có a,b,c>0;a+b>c,b+c>a,c+a>b
=>a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0
=>c2(a+b-c)>0,a2(b+c-a)>0,b2(c+a-b)>0
=>c2(a+b-c)+a2(b+c-a)+b2(c+a-b)>0
=>(đẳng thức đề bài) > 0
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c > 0 . CMR : \(2\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\)≥\(1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)
Cho a, b, c > 0. CMR: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)≥\(\dfrac{3}{a+2b}+\dfrac{3}{b+2c}+\dfrac{3}{c+2a}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho a,b,c >0 thoar manx ab + bc + ca =5abc
CMR: \(P=\frac{1}{2a+2b+2c}+\frac{1}{a+2b+2c}+\frac{1}{2a+b+2c}\le1\)
Từ \(ab+bc+ca=5abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=5\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+a+b+b+c\right)\ge\left(1+1+1+1+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{25}{2a+2b+c}\)
Tương tự ta có :
\(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{25}{2b+2c+a}\)
\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{25}{2a+b+2c}\)
Cộng từng vế BĐT ta thu được :
\(\frac{5}{a}+\frac{5}{b}+\frac{5}{c}\ge25P\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{25}=1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{5}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR : a^2b + b^2c + c^2a >= 9a^2b^2c^2/(1+2a^2b^2c^2
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2+\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge9\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ,ta có :
\(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\ge3\sqrt[3]{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a\)
tương tự : \(b^2c+bc^2+\frac{1}{bc^2}\ge3b\), \(\left(c^2a+ca^2+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được :
\(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1