Question

Cho a,b,c>0 .CMR: (1/a+2b+c) +(1/b+2c+a)+(1/c+2a+b)<=1/2(1/...

Answer 1

áp dụng cái này: 
a²/x + b²/y + c²/z +d²/t ≥ (a + b +c +d)²/(x + y + z + t) (wen thuộc) 
1/a + 1/b + 1/b + 1/c ≥ 16/(a + 2b +c) 
1/a + 1/b + 1/c + 1/c ≥ 16/(a + b +2c) 
1/a + 1/a + 1/b + 1/c ≥ 16/(2a + b +c) 
Cộng 3 vế lại: 
1/a + 1/b +1/c ≥ 4[1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)] 
⇔ ¼ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b) 
⇒ ½ (1/a + 1/b +1/c) ≥ ¼ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b) 
⇔ ½ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b) 
Dấu = xra khi a = b = c và 1/a + 1/b +1/c = 0 
⇒ dấu = không xảy ra. 
⇒ ½ (1/a + 1/b +1/c) > 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)