\(nC^k_n=\left(k+1\right)C^{k+1}_n+k.C^k_n\)
\(2C^k_n+5C^k^{+1}_n+4C_n^{k+2}+C^{k+3}_n=C^k^{+2}_{n+2}+C_{n+3}^{k+3}\)
Chứng minh:
\(c^k_n+4c^{k-1}_n+6c^{k-2}_n+4c^{k-3}_n+c^{k-4}_n=c^k_{n+4}\)
chứng minh
\(\left(a+b\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}\cdot C^k_n\cdot a^{n-k}\cdot b^k\left(\forall2\le n;n\in Z\right)\)
gợi ý
dùng \(C^k_n+c^{k+1}_n=c^{k+1}_{n+1}\)
Lời giải:
Ta thực hiện chứng minh đẳng thức trên đúng bằng quy nạp
Với $n=2$: \((a+b)^=a^2+2ab+b^2=C^0_2a^2b^0+C^1_2ab+C^2_2a^0b^2\) (đúng)
................
Giả sử đẳng thức đúng đến $n=t$ $(t\in\mathbb{Z}>2$), tức là \((a+b)^t=\sum ^t_{k=0}C^k_ta^{t-k}b^k\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với $n=t+1$. Thật vậy:
\((a+b)^{t+1}=(a+b)^t(a+b)=(a+b)\sum ^{t}_{k=0}a^{t-k}b^k\)
\(=C^0_ta^{t+1}+(C^1_t+C^0_t)a^tb+(C^2_t+C^1_t)a^{t-1}b^2+....+(C^t_t+C^{t-1}_t)ab^t+C^t_tb^{t+1}\)
\(=C^0_{t+1}a^{t+1}+C^1_{t+1}a^tb+C^2_{t+1}a^{t-1}b^2+....+C^t_{t+1}ab^t+C^{t+1}_{t+1}b^{t+1}\) (sử dụng đẳng thức \(C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1}\) và \(C^0_t=C^0_{t+1}=1; C^t_t=C^{t+1}_{t+1}=1\))
\(=\sum ^{t+1}_{k=0}C^{k}_{t+1}a^{t+1-k}b^k\)
Phép chứng minh hoàn tất. Ta có đpcm.
Tính tổng
Q=\(C_n^1\)+2\(\dfrac{C_n^2}{C_n^1}+...+k\dfrac{C^k_n}{C^{k-1}_n}+...+n\dfrac{C_n^n}{C^{n-1}_n}\) Với k,n \(\in N\)
ta có : \(Q=C^1_n+2\dfrac{C_n^2}{C_n^1}+...+k\dfrac{C^k_n}{C_n^{k-1}}+...+n\dfrac{C^n_n}{C_n^{n-1}}\)
\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{n!}{1!\left(n-1\right)!}+2\dfrac{1!\left(n-1\right)!}{2!\left(n-2\right)!}+...+k\dfrac{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}{k!\left(n-k\right)!}+...+\dfrac{n\left(n-1\right)!1!}{n!}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\dfrac{2\left(n-1\right)}{2}+...+\dfrac{k\left(n-k+1\right)}{k}+...+\dfrac{n}{n}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\left(n-1\right)+...+\left(n-k+1\right)+...+1\)
\(\Leftrightarrow Q=n^2-\left(1+\left(1+1\right)+\left(1+2\right)+...+\left(n-1\right)\right)\)
chứng minh các công th
1,\(k\left(k-1\right).C^k_n=n\left(n-1\right).C_{n-2}^{k-2}\)
2,\(\dfrac{1}{A^2_2}+\dfrac{1}{A^2_3}+...........+\dfrac{1}{A^2_n}=1-\dfrac{1}{n}\)
Chứng minh rằng :
1) \(2C_n^k+5C_n^{k+1}+4C_n^{k+2}+C_n^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)
2) \(C_n^k+3C_n^{k-1}+3C_n^{k-2}=C_{n+3}^k\)
3) \(k\left(k-1\right)C_n^k=n\left(n-1\right)C_{n-2}^{k-2}\)
1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)
\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)
\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)
\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)
\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)
Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm
Chứng minh \(\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C^k_{n+1}}-\frac{1}{C^{k+1}_{n+1}}\right)=\frac{1}{C^k_n}\)
\(VT=\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C^k_{n+1}}+\frac{1}{C^{k+1}_{n+1}}\right)=\frac{n+1}{n+2}.\frac{k!\left(n+1-k\right)!+\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}{\left(n+1\right)!}\)
\(=\frac{1}{n+2}.\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}\left[\left(n+1-k\right)+\left(k+1\right)\right]=\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}=\frac{1}{C^k_n}=VP\left(đpcm\right)\)
Cho hằng đẳng thức mở rộng :
\(\left(a-b\right)^n=\)an - Cn1 . an-1 . b + Cn2 . an-2 . b - ... + Cnn-1 . a . bn-1 + bn
Trong đó \(C^k_n\) là tổ hợp chập k của n .
\(C^k_n=\frac{n!}{k!.\left(n-k\right)!}\)
Từ đó tính tổng các hệ số của \(\left(5x-3\right)^6\)
Lập công thức tổng quát tính tổng: \(C_n^0+C_n^1+...+C^k_n\). (với \(k,n\in\mathbb{N*};k\leq n\))
1) Tính tổng \(S=\sum\limits^n_{k=2}\dfrac{\left(k-1\right)C^k_n}{\left(n-1\right)^k}\)
2) Cho hai đường tròn \(\left(O_1\right),\left(O_2\right)\) và một đường thẳng (d). Nêu cách dựng đường thẳng (d') song song với (d) sao cho (d') cắt \(\left(O_1\right),\left(O_2\right)\) theo hai dây cung bằng nhau.