\(VD3,\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge0\\x+\sqrt{x}=y^2\end{cases}}\)

Dễ thấy x phải là số chính phương

Đặt \(x=a^2\left(a\in N\right)\)

\(\Rightarrow a^2+a=y^2\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=y^2\)

Vì VP là số chính phương nên \(a\left(a+1\right)\)là số chính phương

Mà a và a + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp và a < a + 1

Nên a = 0 (tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 scp thì phải có 1 số bằng 0 mà a < a + 1 nên a = 0)

Khi đó x = 0 ; y = 0

Vậy pt có nghiệm nguyên (x;y)=(0;0)

VD1

<=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1\)

+ \(x=0;1\)không thỏa mãn

+  \(x=2\)=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1\)đúng

+  \(x>2\)

=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x< \left(\frac{3}{5}\right)^2,\left(\frac{4}{5}\right)^x< \left(\frac{4}{5}\right)^2\)

=> \(VT< 1\)(loại)

Vậy x=2

VD2 

Giả sử \(x\ge y\ge z\)do vai trò của x,y,z như nhau

=> \(2^x\ge2^y\ge2^z\)

=> \(512\le3.2^x\)

=> \(x\ge8\)

Mà \(x< 9\)do \(2^x< 512\)

=> \(x=8\)

Khi đó \(2^y+2^z=256\)

Tưởng tự \(2.2^y\ge256\)=> \(y\ge7\)

Mà \(y< 8\)do \(2^y< 256\)

=> y=7 

=> z=7

Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(8,7,7\right)\)và các hoán vị 

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$

$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$

$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$

$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$

$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$

Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.

Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp

Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$

$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$

$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.

Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$

Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.

\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Bình phương 2 vế, ta có:

\(x+y+3+1=x+y\)

\(x+y+3+1-x-y=0\)

\(4=0\) (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

-Chúc bạn học tốt-

(x,y) hoán vị của (4,9) . có vẻ hoạt động

\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)

\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)

\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)

Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)

ĐKXĐ: x;y > 0

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2-x\)(bình phương + chuyển vế)

 Vì \(\hept{\begin{cases}x;y\inℤ\\x;y\ge0\end{cases}\Rightarrow}x;y\inℕ\)

                           \(\Rightarrow y^2-x\inℕ\)(Vì VP > 0 nên VT > 0 mà 2 số này thuộc N nên hiệu của chúng thuộc N)

Đặt \(y^2-x=a\left(a\inℕ\right)\)

Khi đó \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=a\)

    \(\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=a^2-x\)(bình phương+chuyển vế)

Tương tự như trên 

Đặt \(a^2-x=b\left(b\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=b\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}=b^2\left(1\right)\)

Từ (1) => \(\sqrt{x}\inℕ\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=b^2\)

Vì \(\sqrt{x}\)và \(\sqrt{x}+1\)là 2 số tự nhiên liên tiếp

Mà b² là số chính phương

\(\Rightarrow\sqrt{x}=0\)

\(\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow y=0\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0)