Question

Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1991}\)

Answer 1

Lời giải:

\(\sqrt{1991}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq \sqrt{x}\Rightarrow x\leq 1991\)

Ta có:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1991}\Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{1991}-\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow y=(\sqrt{1991}-\sqrt{x})^2=1991+x-2\sqrt{1991x}\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{1991x}=1991+x-y\) là một số nguyên không âm.

Đặt \(2\sqrt{1991x}=t\) với $t$ là một số tự nhiên chẵn.

\(\Rightarrow 2^2(1991x)=t^2\)

\(\Rightarrow 1991x\) là số chính phương. Mà \(1991x=11.181.x\) nên $x$ phải có dạng \(11.181m^2\)

\(x\leq 1991\Rightarrow 11.181m^2\leq 1991\Rightarrow m^2\leq 1\Rightarrow m=\left\{0;1\right\}\)

+) $m=1$ thì $x=1991,y=0$

+) $m=0$ thì $x=0, y=1991$