a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)

Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)

b. 

\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)

\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)

- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)

Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)

- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)

Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)

\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)

\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))

Ta có \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ab\right)^3+\left(ac\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)

Ta lại có (a+b+c)²=a²+b²+c²

=>a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)= a²+b²+c²

=> 2(ab+bc+ac)=0=> ab+bc+ac=0

Ta cần chứng minh bài toán phụ x+y+z=0 thì

x³+y³+z³=3xyz

Ta thấy x+y+z=0=> x+y=-z

=> (x+y)³=-z³ => x³+3xy(x+y)+y³=-z³

=> x³+y³+z³=-3xy(x+y)=-3xy.(-z)=3xyz

Áp dụng vào bài toán ta có 

ab+bc+ac=0 => (ab)³+(bc)³+(ac)³=3(abc)²

=> \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)

=> đpcm

Giải:

Biến đổi vế trái, ta được:

\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)\)

\(=abc-ab-ac+a-bc+b+c-1\)

\(=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1\)

\(=abc-\left(ab+ac+bc\right)+\left(a+b+c\right)-1\)

Thay ab + ac + bc = abc và a + b + c = 1, ta được:

\(=abc-abc+1-1\)

\(=0\)

\(\Rightarrowđpcm\).

Chúc bạn học tốt!

CHo a => 4  b => 5  c => 6 và a² + b² + c² = 90

CMR a +b + c => 16

 a^2+b^2+c^2=1 
=>-1=<a,b,c=<1 
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0 
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*) 
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0 
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca 
]/2>=0 
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1) 
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*) 
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0 
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1 
<=>a=0,b=0,c=-1 va cac hoan vi cua no

như bài bạn nguyễn thị thanh thảo ế