-Ta thấy \(x^4+x^2+1=x^4-x+x^2+x+1=\left(x^2-x\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

Vậy PT sẽ thành

\(\frac{2010x\left(x^3+1\right)}{x\left(x^4+x^2+1\right)}+\frac{2010x\left(x^3-1\right)}{x\left(x^4+x^2+1\right)}=\frac{2011}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2.2010x^4=2011\Leftrightarrow x=...\)

Ta có: x = 2011 \(\Rightarrow\) 2010 = x - 1

\(A=x^{2011}-2010x^{2010}-2010x^{2009}-...-2010x+1\)

\(=x^{2011}-\left(x-1\right)x^{2010}-\left(x-1\right)x^{2009}-...-\left(x-1\right)x+1\)

\(=x^{2011}-\left(x-1\right)x^{2010}-\left(x-1\right)x^{2009}-...-\left(x-1\right)x+1\)

\(=x^{2011}-x^{2011}+x^{2010}-x^{2010}+x^{2009}-...-x^2+x+1\)

\(=x+1\)

\(=2011+1\)

\(=2012.\)

x=2011

=> 2010= x-1

A = x^2011- (x-1) x^2010- (x-1).x^2009-.....- (x-1).x+1

= x^2011-x^2011+x^2010- x^2010+x^2009..x^2.-x^2+x+1

= x+1

=(x-1)+2= 2010+2=2012

x.x^4 nha

mik nghĩ đề sai lẽ ra phải là P=\(\dfrac{2010+2011\sqrt{1-x^2}+2012}{\sqrt{1-x^2}}\)(\(-1\le x\le1\))

P=\(\dfrac{2010}{\sqrt{1-x^2}}+2011+\dfrac{2012}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{2010}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}+\dfrac{2012}{\sqrt{\left(1-x\right).\left(1+x\right)}}+2011\)

áp dụng BDT CÔ SI \(\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\le\dfrac{1-x+1+x}{2}=1\)

=>\(\dfrac{2010}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}\ge2010\left(1\right)\)

tương tự \(\dfrac{2012}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}\ge2012\left(2\right)\)

cộng vế (1)(2)=>\(\dfrac{2010}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}+\dfrac{2012.}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}\ge2012+2010=4022\)

=>\(\dfrac{2010}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}+\dfrac{2012}{\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}}+2011\ge4022+2011=6033\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=0

vậy min P=6033

Áp dụng định lý Bezout, số dư của phép chia f(x) cho g(x) là \(f\left(1\right)\)

\(f\left(1\right)=1+2-3-4+...-2011-2012\)

\(=-2-2-2-....-2\) (\(\frac{2012}{2}=1006\) số -2)

\(=-2012\)

Vậy số dư là \(-2012\)

\(=\dfrac{-1}{2010}-\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2009}-\dfrac{1}{2010}\right)\)

\(=\dfrac{-1}{2010}-\left(1-\dfrac{1}{2010}\right)\)

\(=\dfrac{-1}{2010}-1+\dfrac{1}{2010}=-1\)

1)3x⁴-5x³y+6x²-10xy+2

=(3x⁴-5x³y)+(6x²-10xy)+2

=x³(3x-5y)+2x(3x-5y)+2

=x³.0+2x.0+2

=0+0+2

=2

2) x⁵-2010x⁴+2010x³-2010x²+2010x-2020

=x⁵-(2009+1)x⁴+(2009+1)x³-(2009+1)x²+(2009+1)x-2009-11

=x⁵-(x+1)x⁴+(x+1)x³-(x+1)x²+(x+1)x-x-11

=x⁵-x⁵-x⁴+x⁴+x³-x³-x²+x²+x-x-11

=-11

2, Với x= 2009 => 2010=x+1

=> \(x^5-2010\text{x}^4+2010\text{x}^3-2010\text{x}^2+2010\text{x}-2020=x^5-\left(x+1\right)x^4+\left(x+1\right)x^3-\left(x+1\right)x^2+\left(x+1\right)x-2020\)

\(=x^5-x^5-x^4+x^4+x^3-x^3-x^2+x^2+x-2020\)

\(=x-2020\)

\(=2009-2020\\ =-11\)

Vì số đư của phép chia F(x) cho nhị thức g(x)=x-1 chính bằng F(1) (theo định lý bezout) ,nên số dư của phép chia là

F(1)= 1+2-3-4+5+6-....-2012

=-2012

Vậy số dư của phép chia f(x) cho nhị thức g(x)=x-1 là -2012