\(\Leftrightarrow2x^2+x+2=y\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2x^2+x+2}{2x-1}=x+1+\dfrac{3}{2x-1}\)

\(y\in Z\Rightarrow\dfrac{3}{2x-1}\in Z\)

Mà x nguyên dương \(\Rightarrow2x-1>0\)

\(\Rightarrow2x-1=Ư\left(3\right)\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\) 

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;5\right);\left(2;4\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x+1=xy+2y\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x+1=y\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2x^2-x+1}{x+2}=2x-5+\dfrac{11}{x+2}\)

Do y nguyên \(\Rightarrow\dfrac{11}{x+2}\) nguyên \(\Rightarrow x+2=Ư\left(11\right)\)

Mà x nguyên dương \(\Rightarrow x+2\ge3\Rightarrow x+2=11\Rightarrow x=9\)

\(\Rightarrow y=14\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(9;14\right)\)

\(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-xy=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2+8\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+4\left(2x-y\right)+4+3y^2+12y+12=-16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y+2\right)^2+3\left(y+2\right)^2=-16\)

Dễ thấy VT \(\ge0\) ; VP < 0 nên phương trình vô nghiệm 

\(x^2+y^2-2\left(x+y\right)=xy\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=2+xy\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\)

Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge2\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Tiếp tục phần tiếp theo

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\) (vô lý vì 2=2+2.2)

⇒ Không có cặp (x;y) nguyên dương nào thỏa mãn đề bài

Sử dụng phương pháp Delta cho bài toán này:

\(2x^2+5y^2-4\left(xy+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+\left(5y^2-11\right)=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn x có tham số là y.

Ta có: \(\Delta'=\left(\dfrac{-4y}{2}\right)^2-2\left(5y^2-11\right)=-6y^2+22\ge0\)

\(\Rightarrow-\sqrt{\dfrac{22}{6}}\le y\le\sqrt{\dfrac{22}{6}}\) hay \(-1\le y\le1\)(vì y nguyên).

Với y=-1 , ta có \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Với \(y=0\), ta có \(x=\pm\sqrt{\dfrac{11}{2}}\) (loại) 

Với \(y=1\), ta có: \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Vậy....

Ngoài phương pháp này, ta cũng có thể sử dụng 1 phương pháp khác, đó là phương pháp kẹp:

\(2x^2+5y^2-4\left(xy+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2+3y^2=11\)

\(\Rightarrow3y^2\le11\Rightarrow-1\le y\le1\) (do y là số nguyên)

Đến đây ta xét các trường hợp:

Với \(y=1\), ta có \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Với \(y=-1\), ta có \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\) (nhận)

Với \(y=0\), ta có \(x=\pm\sqrt{\dfrac{11}{2}}\) (loại)

Vậy...