\(ab+bc+ca\le1\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)

\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

Làm bài này một hồi chắc bay não:v

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.

Bài 2:

a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v

b) Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:

\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)

Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?

tth-new ơi Bài 1 câu a áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số nào thế ạ

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)

BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)

Ta có:

\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)

\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)

Áp dụng Bđt Cô-si ta có:

\(b-1+1\ge2\sqrt{b-1}\Leftrightarrow\frac{b}{2}\ge\sqrt{b-1}\)

\(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)

Tương tự ta có: \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

minh ko biet

tk nhe

xin do

bye

\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\Leftrightarrow\sqrt{a}\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}\sqrt{ab-b}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(2ab-a-b\right)}\le\frac{a+b-a-b+2ab}{2}=ab\)

BĐT đc chứng minh

\(x=\sqrt{a-1};y=\sqrt{b-1}\) bỏ căn đi viết cho dẽ nhìn

\(x^2=a-1;y^2=b-1\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)y+\left(y^2+1\right)x\le\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-2y+1\right)+\left(y^2+1\right)\left(x^2-2x+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y-1\right)^2+\left(y^2+1\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)Đúng với mọi x,y => dpcm

Đẳng thức khi x=y=1=> a=b=2

@ tn . Đẳng thức xẩy ra khi nào?

Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có \(\left(x^2+y^2+z^2\right)3\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Áp dụng ta có 

\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)\)

đặt \(M=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{ab}{a+ab+abc}+\frac{abc}{ab+abc+â^2bc}\)

    \(=\frac{1}{a+ab+1}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{1+ab+1}=1\)

=> \(Q^2\le3\Rightarrow Q\le\sqrt{3}\)

mặt khác Áp dụng cô si ta có 

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge Q\) (ĐPCM)

ta có:

\(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{abc+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{b+bc+abc}\)

\(=\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{1+b+bc}=1\)

ta có:

\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)=3\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{3}=\sqrt{3\sqrt[3]{abc}}\le\sqrt{a+b+c}\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)})^2\leq [c+(b-c)][(a-c)+c]=ab$

$\Rightarrow \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2c$

Bài 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ab-b})^2\)

\(\leq (a+b)(ab-a+ab-b)=(a+b)(2ab-a-b)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a+b)(2ab-a-b)\leq \left(\frac{a+b+2ab-a-b}{2}\right)^2=(ab)^2$

Do đó:

$(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2\leq (ab)^2$

$\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$

Lời giải:

Ta có:

\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left[\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right]^2\)

Đặt $a+1=t(t\neq 0)$ thì:

$A=t^2+(\frac{t^2+1}{t})^2=t^2+(t+\frac{1}{t})^2$

$=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\geq 2\sqrt{2t^2.\frac{1}{t^2}}+2=2\sqrt{2}+2$ theo BĐT AM-GM

Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$

Giá trị này đạt được khi $t=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}$

$\Leftrightarrow a=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}-1$

\(a.1.\sqrt{b-1}+b.1.\sqrt{a-1}\le\frac{1}{2}a\left(1+b-1\right)+\frac{1}{2}b\left(1+a-1\right)=ab\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)